Страница 38 номер 4.18, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Для любых точек \(A\), \(D\), \(C\) и \(E\) выполняется равенство \(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CE}\).

Грань \(ABCD\) куба — квадрат, поэтому \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}\). Грани \(AA_1D_1D\) и \(DD_1C_1C\) — квадраты, поэтому \(\overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AA_1}\).

Точка \(E\) — середина ребра \(CC_1\): векторы \(\overrightarrow{CE}\) и \(\overrightarrow{CC_1}\) сонаправлены и \(CE = \frac{1}{2}CC_1\), поэтому по определению произведения вектора на число \(\overrightarrow{CE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CC_1} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AA_1}\).

Значит, \[\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AA_1}.\]

Ответ: \(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AA_1}\).