Страница 40 номер 4.36, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Рассмотрим систему координат с началом в точке \(B\), осями, содержащими рёбра \(BA\), \(BC\) и \(BB_1\) куба, и единичным отрезком, равным ребру куба.

В этой системе координат \(A(1; 0; 0)\), \(C(0; 1; 0)\), \(D(1; 1; 0)\), \(B_1(0; 0; 1)\), \(C_1(0; 1; 1)\).

Точка \(M\) лежит на отрезке \(B_1C\), и \(B_1M : MC = 2 : 1\), поэтому \(B_1M = \frac{2}{3}B_1C\); векторы \(\overrightarrow{B_1M}\) и \(\overrightarrow{B_1C}\) сонаправлены, значит, \(\overrightarrow{B_1M} = \frac{2}{3}\overrightarrow{B_1C}\). Координаты вектора \(\overrightarrow{B_1C}\) равны \((0; 1; -1)\), поэтому координаты вектора \(\overrightarrow{B_1M}\) равны \(\left(0; \frac{2}{3}; -\frac{2}{3}\right)\), откуда \(M\left(0; \frac{2}{3}; 1 - \frac{2}{3}\right)\), то есть \(M\left(0; \frac{2}{3}; \frac{1}{3}\right)\).

Аналогично \(BK = \frac{1}{3}BD\) и \(\overrightarrow{BK} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BD}\). Координаты вектора \(\overrightarrow{BD}\) равны \((1; 1; 0)\), поэтому координаты вектора \(\overrightarrow{BK}\) равны \(\left(\frac{1}{3}; \frac{1}{3}; 0\right)\) и \(K\left(\frac{1}{3}; \frac{1}{3}; 0\right)\).

Тогда координаты вектора \(\overrightarrow{MK}\) равны \(\left(\frac{1}{3}; -\frac{1}{3}; -\frac{1}{3}\right)\), а вектора \(\overrightarrow{AC_1}\) — \((-1; 1; 1)\). Поэтому \(\overrightarrow{MK} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{AC_1}\), и векторы \(\overrightarrow{MK}\) и \(\overrightarrow{AC_1}\) коллинеарны, то есть лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Прямая \(AC_1\) пересекает плоскость грани \(BB_1C_1C\) только в точке \(C_1\), так как точка \(A\) этой плоскости не принадлежит. Точка \(M\) лежит в этой плоскости и отлична от \(C_1\), поэтому на прямой \(AC_1\) она не лежит. Значит, векторы \(\overrightarrow{MK}\) и \(\overrightarrow{AC_1}\) не лежат на одной прямой, и \(MK \parallel AC_1\).

Ответ: прямые \(MK\) и \(AC_1\) параллельны.