Страница 40 номер 4.45, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — параллелепипед
\(M\), \(N\), \(K\) — середины рёбер \(AB\), \(BC\), \(DD_1\)

Найти: отношение, в котором плоскость \(MNK\) делит диагональ \(DB_1\), считая от точки \(D\).

Решение:

Пусть плоскость \(MNK\) пересекает диагональ \(DB_1\) в точке \(F\) и \(DF = t \cdot DB_1\); тогда \(\overrightarrow{DF} = t\overrightarrow{DB_1}\). Обозначим \(\overrightarrow{DA} = \vec{a}\), \(\overrightarrow{DC} = \vec{c}\), \(\overrightarrow{DD_1} = \vec{d}\); эти векторы отложены от вершины \(D\) по трём рёбрам параллелепипеда и некомпланарны.

По правилу параллелограмма \(\overrightarrow{DB} = \vec{a} + \vec{c}\), по правилу параллелепипеда \(\overrightarrow{DB_1} = \vec{a} + \vec{c} + \vec{d}\). Вектор, проведённый из точки в середину отрезка, равен полусумме векторов, проведённых из этой точки в концы отрезка, поэтому \[\begin{aligned} \overrightarrow{DM} &= \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB}\right) = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}; \\ \overrightarrow{DN} &= \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC}\right) = \frac{1}{2}\vec{a} + \vec{c}; \\ \overrightarrow{DK} &= \frac{1}{2}\vec{d}. \end{aligned}\]

Тогда \[\begin{aligned} \overrightarrow{KM} &= \overrightarrow{DM} - \overrightarrow{DK} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{d}; \\ \overrightarrow{KN} &= \overrightarrow{DN} - \overrightarrow{DK} = \frac{1}{2}\vec{a} + \vec{c} - \frac{1}{2}\vec{d}; \\ \overrightarrow{KF} &= \overrightarrow{DF} - \overrightarrow{DK} = t\vec{a} + t\vec{c} + \left(t - \frac{1}{2}\right)\vec{d}. \end{aligned}\]

Векторы \(\overrightarrow{KM}\) и \(\overrightarrow{KN}\) неколлинеарны. Действительно, \(\overrightarrow{KM} \ne \vec{0}\), и если бы \(\overrightarrow{KN} = s\overrightarrow{KM}\), то по единственности разложения по некомпланарным векторам коэффициенты при \(\vec{a}\) дали бы \(s = \frac{1}{2}\), а коэффициенты при \(\vec{c}\) — \(s = 2\); одно противоречит другому.

Точка \(F\) лежит в плоскости \(MNK\), поэтому векторы \(\overrightarrow{KM}\), \(\overrightarrow{KN}\), \(\overrightarrow{KF}\) компланарны. Векторы \(\overrightarrow{KM}\) и \(\overrightarrow{KN}\) неколлинеарны, поэтому существуют такие числа \(x\) и \(y\), что \(\overrightarrow{KF} = x\overrightarrow{KM} + y\overrightarrow{KN}\), то есть \[t\vec{a} + t\vec{c} + \left(t - \frac{1}{2}\right)\vec{d} = \left(x + \frac{y}{2}\right)\vec{a} + \left(\frac{x}{2} + y\right)\vec{c} - \frac{x + y}{2}\vec{d}.\]

Разложение вектора по некомпланарным векторам \(\vec{a}\), \(\vec{c}\), \(\vec{d}\) единственно, поэтому коэффициенты при одинаковых векторах равны: \[\begin{cases} t = x + \frac{y}{2}, \\ t = \frac{x}{2} + y, \\ t - \frac{1}{2} = -\frac{x + y}{2}. \end{cases}\]

Из первых двух уравнений \(x + \frac{y}{2} = \frac{x}{2} + y\), откуда \(x = y\) и \(t = \frac{3}{2}x\). Подставим в третье уравнение: \[\begin{aligned} \frac{3}{2}x - \frac{1}{2} &= -x; \\ \frac{5}{2}x &= \frac{1}{2}; \qquad | \cdot \frac{2}{5} \\ x &= \frac{1}{5}. \end{aligned}\]

Значит, \(t = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{10}\): \(DF = \frac{3}{10}DB_1\), \(FB_1 = \frac{7}{10}DB_1\) и \(DF : FB_1 = 3 : 7\).

Ответ: \(3 : 7\).