Страница 38 номер 4.14, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дан вектор \(\vec{a}(-2; 6; 3)\). Найдите координаты вектора \(\vec{b}\), если векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) противоположно направлены, а модуль вектора \(\vec{b}\) равен 1.
\(|\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{49} = 7\).
Противоположно направленные векторы коллинеарны, а вектор \(\vec{a}\) ненулевой, поэтому \(\vec{b} = k\vec{a}\) для некоторого числа \(k\). Вектор \(\vec{b}\) ненулевой (его модуль равен 1), поэтому \(k \neq 0\); при \(k > 0\) векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) были бы сонаправлены, а по условию они противоположно направлены, значит, \(k < 0\). По определению произведения вектора на число \(|\vec{b}| = |k||\vec{a}|\), то есть \(1 = 7|k|\), откуда \(|k| = \frac{1}{7}\) и \(k = -\frac{1}{7}\).
Вектор \(\vec{b} = -\frac{1}{7}\vec{a}\) имеет координаты \(\left(-\frac{1}{7} \cdot (-2); -\frac{1}{7} \cdot 6; -\frac{1}{7} \cdot 3\right)\), то есть \(\left(\frac{2}{7}; -\frac{6}{7}; -\frac{3}{7}\right)\).
Ответ: \(\vec{b}\left(\frac{2}{7}; -\frac{6}{7}; -\frac{3}{7}\right)\).
Дан вектор \(\vec{a}(-2; 6; 3)\). Найдите координаты вектора \(\vec{b}\), если векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) противоположно направлены, а модуль вектора \(\vec{b}\) равен 1.
По формуле модуля вектора \(|\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{49} = 7\).
Противоположно направленные векторы коллинеарны, а вектор \(\vec{a}\) ненулевой, поэтому \(\vec{b} = k\vec{a}\) для некоторого числа \(k\). Вектор \(\vec{b}\) ненулевой (его модуль равен 1), поэтому \(k \neq 0\); при \(k > 0\) векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) были бы сонаправлены, а по условию они противоположно направлены, значит, \(k < 0\). По определению произведения вектора на число \(|\vec{b}| = |k||\vec{a}|\), то есть \(1 = 7|k|\), откуда \(|k| = \frac{1}{7}\) и \(k = -\frac{1}{7}\).
Вектор \(\vec{b} = -\frac{1}{7}\vec{a}\) имеет координаты \(\left(-\frac{1}{7} \cdot (-2); -\frac{1}{7} \cdot 6; -\frac{1}{7} \cdot 3\right)\), то есть \(\left(\frac{2}{7}; -\frac{6}{7}; -\frac{3}{7}\right)\).
Ответ: \(\vec{b}\left(\frac{2}{7}; -\frac{6}{7}; -\frac{3}{7}\right)\).
