Страница 40 номер 4.46, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Обозначим \(\overrightarrow{AD} = \vec{a}\), \(\overrightarrow{AB} = \vec{b}\), \(\overrightarrow{AS} = \vec{s}\). Эти векторы некомпланарны: векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) лежат в плоскости основания \(ABCD\) пирамиды \(SABCD\), а точка \(S\) ей не принадлежит.

В трапеции \(ABCD\) основания \(BC\) и \(AD\) параллельны, векторы \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{AD}\) сонаправлены и \(BC = \frac{1}{2}AD\), поэтому \(\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\vec{a}\) и по правилу треугольника \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a}\).

Точки \(M\), \(N\) и \(K\) — середины рёбер \(BC\), \(SD\) и \(DC\), а вектор, проведённый из точки в середину отрезка, равен полусумме векторов, проведённых из этой точки в концы отрезка; точка \(F\) лежит на ребре \(SA\), и из равенства \(SF : FA = 1 : 13\) следует \(AF = \frac{13}{14}AS\). Поэтому \[\begin{aligned} \overrightarrow{AM} &= \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\right) = \frac{1}{4}\vec{a} + \vec{b}; \\ \overrightarrow{AN} &= \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AS} + \overrightarrow{AD}\right) = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{s}; \\ \overrightarrow{AK} &= \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC}\right) = \frac{3}{4}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}; \\ \overrightarrow{AF} &= \frac{13}{14}\vec{s}. \end{aligned}\]

Тогда \[\begin{aligned} \overrightarrow{NM} &= \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} = -\frac{1}{4}\vec{a} + \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{s}; \\ \overrightarrow{NF} &= \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AN} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{3}{7}\vec{s}; \\ \overrightarrow{SK} &= \overrightarrow{AK} - \overrightarrow{AS} = \frac{3}{4}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{s}. \end{aligned}\]

Найдём числа \(x\) и \(y\), при которых \(\overrightarrow{SK} = x\overrightarrow{NM} + y\overrightarrow{NF}\). Это равенство выполняется, если коэффициенты при \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{s}\) в обеих его частях равны: \[\begin{cases} -\frac{x}{4} - \frac{y}{2} = \frac{3}{4}, \\ x = \frac{1}{2}, \\ -\frac{x}{2} + \frac{3}{7}y = -1. \end{cases}\]

Из второго уравнения \(x = \frac{1}{2}\); тогда третье уравнение даёт \(\frac{3}{7}y = -\frac{3}{4}\), то есть \(y = -\frac{7}{4}\), а первое при этих значениях верно: \(-\frac{1}{8} + \frac{7}{8} = \frac{3}{4}\). Значит, \(\overrightarrow{SK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{NM} - \frac{7}{4}\overrightarrow{NF}\).

Векторы \(\overrightarrow{NM}\) и \(\overrightarrow{NF}\) неколлинеарны: \(\overrightarrow{NF} \ne \vec{0}\), а равенство \(\overrightarrow{NM} = t\overrightarrow{NF}\) невозможно ни при каком \(t\) — разложение по некомпланарным векторам \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{s}\) единственно, а коэффициент при \(\vec{b}\) у вектора \(\overrightarrow{NM}\) равен 1, у вектора \(t\overrightarrow{NF}\) — нулю. Вектор \(\overrightarrow{SK}\) выражается через неколлинеарные векторы \(\overrightarrow{NM}\) и \(\overrightarrow{NF}\), поэтому векторы \(\overrightarrow{NM}\), \(\overrightarrow{NF}\) и \(\overrightarrow{SK}\) компланарны. Векторы \(\overrightarrow{NM}\) и \(\overrightarrow{NF}\) лежат в плоскости \(MNF\), значит, в этой плоскости лежит и вектор, равный \(\overrightarrow{SK}\) и отложенный от точки \(N\), а прямая \(SK\) параллельна прямой, на которой он лежит, или совпадает с ней.

Точка \(S\) не лежит в плоскости \(MNF\). Действительно, иначе в этой плоскости лежали бы прямые \(SN\) и \(SF\), то есть прямые \(SD\) и \(SA\), и плоскость \(MNF\) совпала бы с плоскостью \(SAD\). Тогда точка \(M\) лежала бы и в плоскости \(SAD\), и в плоскости основания, то есть на прямой \(AD\), по которой эти плоскости пересекаются. Но точка \(M\) лежит на прямой \(BC\), параллельной прямой \(AD\) и не совпадающей с ней, и потому на прямой \(AD\) не лежит — противоречие.

Значит, прямая \(SK\) не лежит в плоскости \(MNF\) и параллельна прямой, лежащей в этой плоскости. По признаку параллельности прямой и плоскости прямая \(SK\) параллельна плоскости \(MNF\).

Ответ: плоскость \(MNF\) параллельна прямой \(SK\).