Страницы 39-40 номер 4.35, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точки \(M\), \(F\) и \(K\) — середины соответственно рёбер \(BC\), \(AD\) и \(CD\) тетраэдра \(DABC\). На отрезке \(AM\) отметили точку \(P\), а на отрезке \(CF\) — точку \(E\) так, что \(AP : PM = 4 : 1\), \(CE : EF = 2 : 3\). Докажите, что прямые \(PE\) и \(BK\) параллельны.
Обозначим \(\overrightarrow{BA} = \vec{a}\), \(\overrightarrow{BC} = \vec{c}\), \(\overrightarrow{BD} = \vec{d}\).
Вектор, проведённый из точки в середину отрезка, равен полусумме векторов, проведённых из этой точки в концы отрезка. Поэтому для середин \(M\), \(F\) и \(K\) рёбер \(BC\), \(AD\) и \(CD\) получаем \(\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\vec{c}\), \(\overrightarrow{BF} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{d})\) и \(\overrightarrow{BK} = \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{d})\).
Точка \(P\) лежит на отрезке \(AM\), и \(AP : PM = 4 : 1\), поэтому \(AP = \frac{4}{5}AM\); векторы \(\overrightarrow{AP}\) и \(\overrightarrow{AM}\) сонаправлены, значит, \(\overrightarrow{AP} = \frac{4}{5}\overrightarrow{AM}\). По правилу треугольника и правилу разности векторов, отложенных от одной точки, \[\begin{aligned} &\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{BA} + \frac{4}{5}\left(\overrightarrow{BM} - \overrightarrow{BA}\right) = {} \\ &= \frac{1}{5}\overrightarrow{BA} + \frac{4}{5}\overrightarrow{BM} = \frac{1}{5}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{c}. \end{aligned}\]
Точка \(E\) лежит на отрезке \(CF\), и \(CE : EF = 2 : 3\), поэтому так же \(\overrightarrow{CE} = \frac{2}{5}\overrightarrow{CF}\) и \[\begin{aligned} &\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BC} + \frac{2}{5}\left(\overrightarrow{BF} - \overrightarrow{BC}\right) = \frac{3}{5}\overrightarrow{BC} + \frac{2}{5}\overrightarrow{BF} = {} \\ &= \frac{3}{5}\vec{c} + \frac{1}{5}(\vec{a} + \vec{d}) = \frac{1}{5}\vec{a} + \frac{3}{5}\vec{c} + \frac{1}{5}\vec{d}. \end{aligned}\]
Следовательно, \[\overrightarrow{PE} = \overrightarrow{BE} - \overrightarrow{BP} = \frac{1}{5}\vec{c} + \frac{1}{5}\vec{d} = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{d}) = \frac{2}{5}\overrightarrow{BK}.\]
Вектор \(\overrightarrow{BK}\) ненулевой, а \(\overrightarrow{PE} = \frac{2}{5}\overrightarrow{BK}\), поэтому векторы \(\overrightarrow{PE}\) и \(\overrightarrow{BK}\) ненулевые и коллинеарны, то есть лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Точка \(A\) не лежит в плоскости \(BCD\), поэтому прямая \(AM\) пересекает эту плоскость только в точке \(M\). Точка \(P\) лежит на прямой \(AM\) и отлична от \(M\), значит, она не лежит в плоскости \(BCD\) и тем более на прямой \(BK\). Следовательно, прямые \(PE\) и \(BK\) не совпадают, и \(PE \parallel BK\).
Ответ: прямые \(PE\) и \(BK\) параллельны.
Точки \(M\), \(F\) и \(K\) — середины соответственно рёбер \(BC\), \(AD\) и \(CD\) тетраэдра \(DABC\). На отрезке \(AM\) отметили точку \(P\), а на отрезке \(CF\) — точку \(E\) так, что \(AP : PM = 4 : 1\), \(CE : EF = 2 : 3\). Докажите, что прямые \(PE\) и \(BK\) параллельны.
Обозначим \(\overrightarrow{BA} = \vec{a}\), \(\overrightarrow{BC} = \vec{c}\), \(\overrightarrow{BD} = \vec{d}\) и выразим через них векторы \(\overrightarrow{PE}\) и \(\overrightarrow{BK}\).
Вектор, проведённый из точки в середину отрезка, равен полусумме векторов, проведённых из этой точки в концы отрезка. Поэтому для середин \(M\), \(F\) и \(K\) рёбер \(BC\), \(AD\) и \(CD\) получаем \(\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\vec{c}\), \(\overrightarrow{BF} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{d})\) и \(\overrightarrow{BK} = \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{d})\).
Точка \(P\) лежит на отрезке \(AM\), и \(AP : PM = 4 : 1\), поэтому \(AP = \frac{4}{5}AM\); векторы \(\overrightarrow{AP}\) и \(\overrightarrow{AM}\) сонаправлены, значит, \(\overrightarrow{AP} = \frac{4}{5}\overrightarrow{AM}\). По правилу треугольника и правилу разности векторов, отложенных от одной точки, \[\begin{aligned} &\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{BA} + \frac{4}{5}\left(\overrightarrow{BM} - \overrightarrow{BA}\right) = {} \\ &= \frac{1}{5}\overrightarrow{BA} + \frac{4}{5}\overrightarrow{BM} = \frac{1}{5}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{c}. \end{aligned}\]
Точка \(E\) лежит на отрезке \(CF\), и \(CE : EF = 2 : 3\), поэтому так же \(\overrightarrow{CE} = \frac{2}{5}\overrightarrow{CF}\) и \[\begin{aligned} &\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BC} + \frac{2}{5}\left(\overrightarrow{BF} - \overrightarrow{BC}\right) = \frac{3}{5}\overrightarrow{BC} + \frac{2}{5}\overrightarrow{BF} = {} \\ &= \frac{3}{5}\vec{c} + \frac{1}{5}(\vec{a} + \vec{d}) = \frac{1}{5}\vec{a} + \frac{3}{5}\vec{c} + \frac{1}{5}\vec{d}. \end{aligned}\]
Следовательно, \[\overrightarrow{PE} = \overrightarrow{BE} - \overrightarrow{BP} = \frac{1}{5}\vec{c} + \frac{1}{5}\vec{d} = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{d}) = \frac{2}{5}\overrightarrow{BK}.\]
Вектор \(\overrightarrow{BK}\) ненулевой, а \(\overrightarrow{PE} = \frac{2}{5}\overrightarrow{BK}\), поэтому векторы \(\overrightarrow{PE}\) и \(\overrightarrow{BK}\) ненулевые и коллинеарны, то есть лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Точка \(A\) не лежит в плоскости \(BCD\), поэтому прямая \(AM\) пересекает эту плоскость только в точке \(M\). Точка \(P\) лежит на прямой \(AM\) и отлична от \(M\), значит, она не лежит в плоскости \(BCD\) и тем более на прямой \(BK\). Следовательно, прямые \(PE\) и \(BK\) не совпадают, и \(PE \parallel BK\).
Ответ: прямые \(PE\) и \(BK\) параллельны.
