Вопросы после параграфа §4 на страницах 36-37, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Произведением ненулевого вектора \(\vec{a}\) и числа \(k\), отличного от нуля, называют такой вектор \(\vec{b}\), что: 1) \(|\vec{b}| = |k||\vec{a}|\); 2) если \(k > 0\), то \(\vec{b} \uparrow\uparrow \vec{a}\); если \(k < 0\), то \(\vec{b} \uparrow\downarrow \vec{a}\). Пишут: \(\vec{b} = k\vec{a}\). Если \(\vec{a} = \vec{0}\) или \(k = 0\), то считают, что \(k\vec{a} = \vec{0}\).

Ответ: произведением ненулевого вектора \(\vec{a}\) и числа \(k\), отличного от нуля, называют такой вектор \(\vec{b}\), что: 1) \(|\vec{b}| = |k||\vec{a}|\); 2) если \(k > 0\), то \(\vec{b} \uparrow\uparrow \vec{a}\); если \(k < 0\), то \(\vec{b} \uparrow\downarrow \vec{a}\).

Из определения произведения вектора на число следует, что если \(\vec{b} = k\vec{a}\), то векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны. Действительно, при \(\vec{a} \neq \vec{0}\) и \(k \neq 0\) вектор \(\vec{b}\) сонаправлен с вектором \(\vec{a}\) (если \(k > 0\)) или противоположно направлен ему (если \(k < 0\)); при \(\vec{a} = \vec{0}\) или \(k = 0\) вектор \(\vec{b}\) нулевой, а нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору. Кроме того, \(|\vec{b}| = |k||\vec{a}|\).

Ответ: векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны.

Если векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны и \(\vec{a} \neq \vec{0}\), то существует такое число \(k\), что \(\vec{b} = k\vec{a}\). Это число определяется направлением и модулем вектора \(\vec{b}\): \(k = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}\), если \(\vec{b} \uparrow\uparrow \vec{a}\); \(k = -\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}\), если \(\vec{b} \uparrow\downarrow \vec{a}\); \(k = 0\), если \(\vec{b} = \vec{0}\).

Ответ: существует такое число \(k\), что \(\vec{b} = k\vec{a}\).

Если координаты вектора \(\vec{a}\) равны \((a_1; a_2; a_3)\), то координаты вектора \(k\vec{a}\) равны \((ka_1; ka_2; ka_3)\): при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число.

Ответ: координаты вектора \(k\vec{a}\) равны \((ka_1; ka_2; ka_3)\).

Обозначим эти векторы \(\vec{a}(a_1; a_2; a_3)\) и \(\vec{b}(ka_1; ka_2; ka_3)\). Вектор \(k\vec{a}\) имеет координаты \((ka_1; ka_2; ka_3)\), а если соответствующие координаты векторов равны, то равны и сами векторы, поэтому \(\vec{b} = k\vec{a}\). Если \(\vec{b} = k\vec{a}\), то векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны. Если же, кроме того, \(\vec{a} \neq \vec{0}\), то эти векторы сонаправлены при \(k > 0\) и противоположно направлены при \(k < 0\).

Ответ: такие векторы коллинеарны: второй из них равен первому, умноженному на число \(k\).

Для любых чисел \(k\), \(m\) и для любых векторов \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) выполняются равенства: \[\begin{aligned} (km)\vec{a} &= k(m\vec{a}); \\ (k + m)\vec{a} &= k\vec{a} + m\vec{a}; \\ k(\vec{a} + \vec{b}) &= k\vec{a} + k\vec{b}. \end{aligned}\]

Первое равенство выражает сочетательное свойство, второе — первое распределительное свойство, третье — второе распределительное свойство.

Ответ: для любых чисел \(k\), \(m\) и любых векторов \(\vec{a}\), \(\vec{b}\): \((km)\vec{a} = k(m\vec{a})\) — сочетательное свойство; \((k + m)\vec{a} = k\vec{a} + m\vec{a}\) и \(k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}\) — первое и второе распределительные свойства.

Если векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) неколлинеарны, то три вектора \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) будут компланарными тогда и только тогда, когда вектор \(\vec{c}\) можно представить в виде \(\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}\), где \(x\) и \(y\) — некоторые числа.

Это утверждение объединяет два условия. Необходимое: если векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) компланарны, а векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) неколлинеарны, то \(\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}\) при некоторых числах \(x\) и \(y\). Достаточное: если \(\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}\), где векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) неколлинеарны, то векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) компланарны. Если же векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны, то векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) компланарны при любом векторе \(\vec{c}\).

Ответ: если векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) неколлинеарны, то три вектора \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) компланарны тогда и только тогда, когда вектор \(\vec{c}\) можно представить в виде \(\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}\), где \(x\) и \(y\) — некоторые числа.

Пусть \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) — некомпланарные векторы. Тогда для произвольного вектора \(\vec{d}\) существует единственная тройка чисел \((x; y; z)\) такая, что \(\vec{d} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}\).

Тройку некомпланарных векторов \((\vec{a}; \vec{b}; \vec{c})\) называют базисом. Если \(\vec{d} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}\), то говорят, что вектор \(\vec{d}\) разложен по базису \((\vec{a}; \vec{b}; \vec{c})\), а тройку чисел \((x; y; z)\) называют координатами вектора \(\vec{d}\) в этом базисе.

Ответ: если \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) — некомпланарные векторы, то для произвольного вектора \(\vec{d}\) существует единственная тройка чисел \((x; y; z)\) такая, что \(\vec{d} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}\).

Пусть точки \(O\), \(X\) и \(X_1\) такие, что \(\overrightarrow{OX_1} = k\overrightarrow{OX}\), где \(k \neq 0\). В этом случае говорят, что точка \(X_1\) — образ точки \(X\) при гомотетии с центром \(O\) и коэффициентом \(k\). Точку \(O\) называют центром гомотетии, число \(k\) — коэффициентом гомотетии. Из равенства \(\overrightarrow{OX_1} = k\overrightarrow{OX}\) следует, что точки \(O\), \(X\) и \(X_1\) лежат на одной прямой.

Ответ: точку \(X_1\) называют образом точки \(X\) при гомотетии с центром \(O\) и коэффициентом \(k\), если \(\overrightarrow{OX_1} = k\overrightarrow{OX}\), где \(k \neq 0\).

Рассмотрим фигуру \(F\) и точку \(O\). Каждой точке \(X\) фигуры \(F\) поставим в соответствие точку \(X_1\), являющуюся образом точки \(X\) при гомотетии с центром \(O\) и коэффициентом \(k\), то есть такую, что \(\overrightarrow{OX_1} = k\overrightarrow{OX}\), где \(k \neq 0\) (если точка \(O\) принадлежит фигуре \(F\), то ей сопоставляется она сама). В результате такого преобразования фигуры \(F\) получим фигуру \(F_1\). Такое преобразование фигуры \(F\) называют гомотетией с центром \(O\) и коэффициентом \(k\), а про фигуру \(F_1\) говорят, что она гомотетична фигуре \(F\) с центром \(O\) и коэффициентом \(k\).

Ответ: гомотетией с центром \(O\) и коэффициентом \(k\) называют преобразование фигуры \(F\), при котором каждой точке \(X\) фигуры \(F\) ставят в соответствие точку \(X_1\), являющуюся образом точки \(X\) при гомотетии с центром \(O\) и коэффициентом \(k\), то есть такую, что \(\overrightarrow{OX_1} = k\overrightarrow{OX}\).

При гомотетии: образом прямой является данная прямая, если центр гомотетии принадлежит этой прямой, и прямая, параллельная данной, если центр гомотетии не принадлежит этой прямой; образом плоскости является данная плоскость, если центр гомотетии принадлежит этой плоскости, и плоскость, параллельная данной плоскости, если центр гомотетии не принадлежит данной плоскости; образом отрезка является отрезок; образом угла является угол, равный данному; площадь многоугольника изменяется в \(k^2\) раз, где \(k\) — коэффициент гомотетии.

Ответ: при гомотетии образом прямой является данная прямая, если центр гомотетии принадлежит этой прямой, и прямая, параллельная данной, если центр гомотетии не принадлежит этой прямой; образом плоскости является данная плоскость, если центр гомотетии принадлежит этой плоскости, и плоскость, параллельная данной плоскости, если центр гомотетии не принадлежит данной плоскости; образом отрезка является отрезок; образом угла является угол, равный данному; площадь многоугольника изменяется в \(k^2\) раз, где \(k\) — коэффициент гомотетии.

Пусть плоскость, параллельная основанию \(ABC\) треугольной пирамиды \(SABC\), пересекает боковые рёбра \(SA\), \(SB\) и \(SC\) в точках \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\). Плоскость грани \(SAB\) пересекает параллельные плоскости сечения и основания по прямым \(A_1B_1\) и \(AB\), а прямые, образованные пересечением двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, параллельны; значит, \(A_1B_1 \parallel AB\). Так же \(B_1C_1 \parallel BC\). Поэтому треугольник \(SA_1B_1\) подобен треугольнику \(SAB\), а треугольник \(SB_1C_1\) — треугольнику \(SBC\), откуда \(\frac{SA_1}{SA} = \frac{SB_1}{SB} = \frac{SC_1}{SC}\). Обозначим это отношение \(k\). Векторы \(\overrightarrow{SA_1}\) и \(\overrightarrow{SA}\) сонаправлены, а \(SA_1 = k \cdot SA\), где \(k > 0\), поэтому \(\overrightarrow{SA_1} = k\overrightarrow{SA}\); так же \(\overrightarrow{SB_1} = k\overrightarrow{SB}\) и \(\overrightarrow{SC_1} = k\overrightarrow{SC}\). Следовательно, треугольник \(A_1B_1C_1\) гомотетичен треугольнику \(ABC\) с центром \(S\) и коэффициентом \(k\). Для пирамиды, в основании которой лежит \(n\)-угольник, рассуждения такие же: сечение — \(n\)-угольник, гомотетичный основанию.

Ответ: сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, — многоугольник, гомотетичный основанию пирамиды с центром гомотетии в вершине пирамиды.