Страница 29 номер 3.36, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCD\) — параллелограмм
\(AB = 2\) см
\(AD = 4\) см
\(\angle BAD = 60^\circ\)
\(M\) — середина \(BC\)
\(N\) — середина \(CD\)

Найти: \(\angle MAN\).

Решение: В параллелограмме противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\). Поэтому \(BC = AD = 4\) см, \(CD = AB = 2\) см, \(\angle BCD = \angle BAD = 60^\circ\) и \(\angle ABC = \angle ADC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). Точки \(M\) и \(N\) — середины сторон \(BC\) и \(CD\), поэтому \(BM = MC = 2\) см, \(CN = ND = 1\) см.

Применим теорему косинусов к треугольникам \(ABM\) (угол \(B\) равен \(120^\circ\)), \(ADN\) (угол \(D\) равен \(120^\circ\)) и \(MCN\) (угол \(C\) равен \(60^\circ\)): \[\begin{aligned} AM^2 &= 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos 120^\circ = 4 + 4 + 4 = 12; \\ AN^2 &= 4^2 + 1^2 - 2 \cdot 4 \cdot 1 \cdot \cos 120^\circ = 16 + 1 + 4 = 21; \\ MN^2 &= 2^2 + 1^2 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos 60^\circ = 4 + 1 - 2 = 3. \end{aligned}\]

Значит, \(AM = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) см, \(AN = \sqrt{21}\) см, \(MN = \sqrt{3}\) см.

Из треугольника \(AMN\) по теореме косинусов \(MN^2 = AM^2 + AN^2 - 2 \cdot AM \cdot AN \cdot \cos \angle MAN\), откуда \[\begin{aligned} &\cos \angle MAN = \frac{AM^2 + AN^2 - MN^2}{2 \cdot AM \cdot AN} = \frac{12 + 21 - 3}{2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{21}} = {} \\ &= \frac{30}{4\sqrt{63}} = \frac{30}{12\sqrt{7}} = \frac{5}{2\sqrt{7}} = \frac{5\sqrt{7}}{14}. \end{aligned}\]

Угол треугольника меньше \(180^\circ\), поэтому \(\angle MAN = \arccos \frac{5\sqrt{7}}{14}\).

Ответ: \(\angle MAN = \arccos \frac{5\sqrt{7}}{14}\).