Страница 38 номер 4.21, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Образом точки \(B(3; -4; 1)\) при гомотетии с центром \(A(-1; 2; 9)\) является точка \(B_1(-2; 3{,}5; 11)\). Найдите образ \(C_1\) точки \(C(19; -6; 37)\) при этой гомотетии.
Пусть \(k\) — коэффициент гомотетии. Точка \(B_1\) — образ точки \(B\) при гомотетии с центром \(A\), поэтому \(\overrightarrow{AB_1} = k\overrightarrow{AB}\).
\(\overrightarrow{AB}(3 - (-1); -4 - 2; 1 - 9)\), то есть \(\overrightarrow{AB}(4; -6; -8)\), и \(\overrightarrow{AB_1}(-2 - (-1); 3{,}5 - 2; 11 - 9)\), то есть \(\overrightarrow{AB_1}(-1; 1{,}5; 2)\). Вектор \(k\overrightarrow{AB}\) имеет координаты \((4k; -6k; -8k)\), а равные векторы имеют равные соответствующие координаты, поэтому \(4k = -1\), \(-6k = 1{,}5\), \(-8k = 2\). Все три равенства выполняются при \(k = -\frac{1}{4}\).
Пусть \(C_1(x; y; z)\) — образ точки \(C\). Тогда \(\overrightarrow{AC_1} = -\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}\). Вектор \(\overrightarrow{AC}\) имеет координаты \((19 - (-1); -6 - 2; 37 - 9)\), то есть \((20; -8; 28)\), поэтому вектор \(-\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}\) имеет координаты \((-5; 2; -7)\). Вектор \(\overrightarrow{AC_1}\) имеет координаты \((x + 1; y - 2; z - 9)\), поэтому \(x + 1 = -5\), \(y - 2 = 2\), \(z - 9 = -7\), откуда \(x = -6\), \(y = 4\), \(z = 2\).
Ответ: \(C_1(-6; 4; 2)\).
Образом точки \(B(3; -4; 1)\) при гомотетии с центром \(A(-1; 2; 9)\) является точка \(B_1(-2; 3{,}5; 11)\). Найдите образ \(C_1\) точки \(C(19; -6; 37)\) при этой гомотетии.
Пусть \(k\) — коэффициент гомотетии. Точка \(B_1\) — образ точки \(B\) при гомотетии с центром \(A\), поэтому \(\overrightarrow{AB_1} = k\overrightarrow{AB}\). Координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала: \(\overrightarrow{AB}(3 - (-1); -4 - 2; 1 - 9)\), то есть \(\overrightarrow{AB}(4; -6; -8)\), и \(\overrightarrow{AB_1}(-2 - (-1); 3{,}5 - 2; 11 - 9)\), то есть \(\overrightarrow{AB_1}(-1; 1{,}5; 2)\). Вектор \(k\overrightarrow{AB}\) имеет координаты \((4k; -6k; -8k)\), а равные векторы имеют равные соответствующие координаты, поэтому \(4k = -1\), \(-6k = 1{,}5\), \(-8k = 2\). Все три равенства выполняются при \(k = -\frac{1}{4}\).
Пусть \(C_1(x; y; z)\) — образ точки \(C\). Тогда \(\overrightarrow{AC_1} = -\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}\). Вектор \(\overrightarrow{AC}\) имеет координаты \((19 - (-1); -6 - 2; 37 - 9)\), то есть \((20; -8; 28)\), поэтому вектор \(-\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}\) имеет координаты \((-5; 2; -7)\). Вектор \(\overrightarrow{AC_1}\) имеет координаты \((x + 1; y - 2; z - 9)\), поэтому \(x + 1 = -5\), \(y - 2 = 2\), \(z - 9 = -7\), откуда \(x = -6\), \(y = 4\), \(z = 2\).
Ответ: \(C_1(-6; 4; 2)\).
