Страница 39 номер 4.32, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), точка \(M\) лежит на ребре \(AD\), точка \(K\) — на отрезке \(C_1D\); выразим вектор \(\overrightarrow{MK}\) через векторы \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{AA_1}\). Для любых точек \(M\), \(D\) и \(K\) выполняется равенство \(\overrightarrow{MK} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DK}\).
Точка \(M\) лежит на ребре \(AD\) и \(AM : MD = 1 : 3\), поэтому \(MD = \frac{3}{4}AD\); векторы \(\overrightarrow{MD}\) и \(\overrightarrow{AD}\) сонаправлены, и \(\overrightarrow{MD} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AD}\).
Точка \(K\) лежит на отрезке \(C_1D\) и \(C_1K : KD = 3 : 2\), поэтому \(DK = \frac{2}{5}DC_1\); векторы \(\overrightarrow{DK}\) и \(\overrightarrow{DC_1}\) сонаправлены, поэтому \(\overrightarrow{DK} = \frac{2}{5}\overrightarrow{DC_1}\). Векторы \(\overrightarrow{DC}\) и \(\overrightarrow{DD_1}\) неколлинеарны, а \(DC_1\) — диагональ параллелограмма \(CC_1D_1D\), поэтому по правилу параллелограмма \(\overrightarrow{DC_1} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DD_1}\). Из параллелограммов \(ABCD\) и \(AA_1D_1D\) получаем \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AA_1}\), поэтому \(\overrightarrow{DK} = \frac{2}{5}\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_1}\right) = \frac{2}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow{AA_1}\).
Значит, \[\overrightarrow{MK} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AD} + \frac{2}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow{AA_1} = \frac{2}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AD} + \frac{2}{5}\overrightarrow{AA_1}.\]
Ответ: \(\overrightarrow{MK} = \frac{2}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AD} + \frac{2}{5}\overrightarrow{AA_1}\).
Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), точка \(M\) лежит на ребре \(AD\), точка \(K\) — на отрезке \(C_1D\); выразим вектор \(\overrightarrow{MK}\) через векторы \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{AA_1}\). Для любых точек \(M\), \(D\) и \(K\) выполняется равенство \(\overrightarrow{MK} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DK}\).
Точка \(M\) лежит на ребре \(AD\) и \(AM : MD = 1 : 3\), поэтому \(MD = \frac{3}{4}AD\); векторы \(\overrightarrow{MD}\) и \(\overrightarrow{AD}\) сонаправлены, и по определению произведения вектора на число \(\overrightarrow{MD} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AD}\).
Точка \(K\) лежит на отрезке \(C_1D\) и \(C_1K : KD = 3 : 2\), поэтому \(DK = \frac{2}{5}DC_1\); векторы \(\overrightarrow{DK}\) и \(\overrightarrow{DC_1}\) сонаправлены, поэтому \(\overrightarrow{DK} = \frac{2}{5}\overrightarrow{DC_1}\). Векторы \(\overrightarrow{DC}\) и \(\overrightarrow{DD_1}\) неколлинеарны, а \(DC_1\) — диагональ параллелограмма \(CC_1D_1D\), поэтому по правилу параллелограмма \(\overrightarrow{DC_1} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DD_1}\). Из параллелограммов \(ABCD\) и \(AA_1D_1D\) получаем \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AA_1}\), поэтому \(\overrightarrow{DK} = \frac{2}{5}\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_1}\right) = \frac{2}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow{AA_1}\).
Значит, \[\overrightarrow{MK} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AD} + \frac{2}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow{AA_1} = \frac{2}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AD} + \frac{2}{5}\overrightarrow{AA_1}.\]
Ответ: \(\overrightarrow{MK} = \frac{2}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AD} + \frac{2}{5}\overrightarrow{AA_1}\).
