Страница 40 номер 4.41, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точки \(P\) и \(K\) — середины соответственно рёбер \(AD\) и \(BC\) тетраэдра \(DABC\). Докажите, что \(AC + BD > 2PK\).
Пусть \(L\) — середина ребра \(AB\).
Точки \(L\) и \(P\) — середины рёбер \(AB\) и \(AD\), поэтому \(\overrightarrow{AL} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}\). По правилу разности векторов, отложенных от одной точки, \[\overrightarrow{PL} = \overrightarrow{AL} - \overrightarrow{AP} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}\right) = \frac{1}{2}\overrightarrow{DB}.\]
Так же для середин \(L\) и \(K\) рёбер \(BA\) и \(BC\): \[\overrightarrow{LK} = \overrightarrow{BK} - \overrightarrow{BL} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA}\right) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.\]
Отсюда \(PL = \frac{1}{2}BD\) и \(LK = \frac{1}{2}AC\).
Точки \(P\), \(L\) и \(K\) не лежат на одной прямой. Действительно, если бы они лежали на одной прямой, то векторы \(\overrightarrow{PL}\) и \(\overrightarrow{LK}\) были бы коллинеарны, а вместе с ними — и векторы \(\overrightarrow{DB} = 2\overrightarrow{PL}\) и \(\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{LK}\). Тогда прямые \(BD\) и \(AC\) были бы параллельны или совпадали, и все четыре вершины тетраэдра лежали бы в одной плоскости; но вершины тетраэдра в одной плоскости не лежат. Значит, \(PLK\) — треугольник, и по неравенству треугольника \(PK < PL + LK\), то есть \[\begin{aligned} PK &< \frac{1}{2}BD + \frac{1}{2}AC; \qquad | \cdot 2 \\ 2PK &< AC + BD. \end{aligned}\]
Ответ: \(AC + BD > 2PK\).
