Страница 41 номер 4.48, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — параллелепипед
\(P\) — точка отрезка \(AB_1\), \(K\) — точка отрезка \(BC_1\)
\(PK \parallel A_1C\)

Найти: \(\frac{PK}{A_1C}\).

Решение:

Обозначим \(\overrightarrow{AB} = \vec{a}\), \(\overrightarrow{AD} = \vec{b}\), \(\overrightarrow{AA_1} = \vec{c}\); эти векторы отложены от вершины \(A\) по трём рёбрам параллелепипеда и некомпланарны. Грани параллелепипеда — параллелограммы, поэтому \(\overrightarrow{BC} = \vec{b}\), \(\overrightarrow{BB_1} = \vec{c}\), и по правилу параллелограмма \(\overrightarrow{AB_1} = \vec{a} + \vec{c}\), \(\overrightarrow{BC_1} = \vec{b} + \vec{c}\), \(\overrightarrow{AC} = \vec{a} + \vec{b}\). По правилу треугольника \(\overrightarrow{A_1C} = \overrightarrow{A_1A} + \overrightarrow{AC} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}\).

Точка \(P\) лежит на отрезке \(AB_1\), поэтому векторы \(\overrightarrow{AP}\) и \(\overrightarrow{AB_1}\) коллинеарны; так как \(\overrightarrow{AB_1} \ne \vec{0}\), то \(\overrightarrow{AP} = p\overrightarrow{AB_1}\), где \(0 \leqslant p \leqslant 1\). Так же \(\overrightarrow{BK} = q\overrightarrow{BC_1}\), где \(0 \leqslant q \leqslant 1\). Тогда \[\begin{aligned} &\overrightarrow{PK} = \overrightarrow{AK} - \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB} + q\overrightarrow{BC_1} - p\overrightarrow{AB_1} = {} \\ &= (1 - p)\vec{a} + q\vec{b} + (q - p)\vec{c}. \end{aligned}\]

Прямые \(PK\) и \(A_1C\) параллельны, поэтому векторы \(\overrightarrow{PK}\) и \(\overrightarrow{A_1C}\) коллинеарны; так как \(\overrightarrow{A_1C} \ne \vec{0}\), существует число \(k\) такое, что \(\overrightarrow{PK} = k\overrightarrow{A_1C} = k\vec{a} + k\vec{b} - k\vec{c}\). Разложение вектора по некомпланарным векторам \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) единственно, поэтому коэффициенты при одинаковых векторах равны: \[\begin{cases} 1 - p = k, \\ q = k, \\ q - p = -k. \end{cases}\]

Из второго и третьего уравнений \(q = k\) и \(p = 2k\); тогда первое уравнение даёт \(1 - 2k = k\), откуда \(k = \frac{1}{3}\), \(p = \frac{2}{3}\), \(q = \frac{1}{3}\) — точки \(P\) и \(K\) действительно лежат на отрезках \(AB_1\) и \(BC_1\). Значит, \(\overrightarrow{PK} = \frac{1}{3}\overrightarrow{A_1C}\) и \(\frac{PK}{A_1C} = \frac{1}{3}\).

Ответ: \(\frac{PK}{A_1C} = \frac{1}{3}\).