Страница 37 номер 4.6, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Коллинеарны ли векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\), если \(A(4; -1; -4)\), \(B(0; 5; 6)\), \(C(0; 2; 7)\), \(D(2; -1; 2)\)?
\(\overrightarrow{AB}(0 - 4; 5 - (-1); 6 - (-4))\), то есть \(\overrightarrow{AB}(-4; 6; 10)\); \(\overrightarrow{CD}(2 - 0; -1 - 2; 2 - 7)\), то есть \(\overrightarrow{CD}(2; -3; -5)\).
Проверим, найдётся ли такое число \(k\), что \(\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{CD}\). Вектор \(k\overrightarrow{CD}\) имеет координаты \((2k; -3k; -5k)\); из равенства первых координат \(2k = -4\) получаем \(k = -2\). Вектор \(-2\overrightarrow{CD}\) имеет координаты \((-4; 6; 10)\) — те же, что у вектора \(\overrightarrow{AB}\). Значит, \(\overrightarrow{AB} = -2\overrightarrow{CD}\). Если один вектор равен произведению другого вектора и числа, то эти векторы коллинеарны.
Ответ: да, векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) коллинеарны.
Коллинеарны ли векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\), если \(A(4; -1; -4)\), \(B(0; 5; 6)\), \(C(0; 2; 7)\), \(D(2; -1; 2)\)?
Координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала: \(\overrightarrow{AB}(0 - 4; 5 - (-1); 6 - (-4))\), то есть \(\overrightarrow{AB}(-4; 6; 10)\); \(\overrightarrow{CD}(2 - 0; -1 - 2; 2 - 7)\), то есть \(\overrightarrow{CD}(2; -3; -5)\).
Проверим, найдётся ли такое число \(k\), что \(\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{CD}\). Вектор \(k\overrightarrow{CD}\) имеет координаты \((2k; -3k; -5k)\); из равенства первых координат \(2k = -4\) получаем \(k = -2\). Вектор \(-2\overrightarrow{CD}\) имеет координаты \((-4; 6; 10)\) — те же, что у вектора \(\overrightarrow{AB}\), а векторы с равными соответствующими координатами равны. Значит, \(\overrightarrow{AB} = -2\overrightarrow{CD}\). Если один вектор равен произведению другого вектора и числа, то эти векторы коллинеарны.
Ответ: да, векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) коллинеарны.
