Страница 38 номер 4.20, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Точка \(E\) — середина ребра \(CC_1\), точка \(F\) — середина ребра \(AD\). Выразите вектор \(\overrightarrow{EF}\) через векторы \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{AA_1}\).
Для любых точек \(E\), \(C\), \(D\) и \(F\) выполняется равенство \(\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DF}\).
Грань \(ABCD\) куба — квадрат, поэтому \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\). Грани \(AA_1D_1D\) и \(DD_1C_1C\) — квадраты, поэтому \(\overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AA_1}\).
Точка \(E\) — середина ребра \(CC_1\): векторы \(\overrightarrow{EC}\) и \(\overrightarrow{C_1C}\) сонаправлены и \(EC = \frac{1}{2}C_1C\), поэтому \(\overrightarrow{EC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{C_1C} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{CC_1} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AA_1}\). Точка \(F\) — середина ребра \(AD\), поэтому так же \(\overrightarrow{DF} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DA} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}\).
Значит, \[\overrightarrow{EF} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AA_1} - \overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AA_1}.\]
Ответ: \(\overrightarrow{EF} = -\overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AA_1}\).
Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Точка \(E\) — середина ребра \(CC_1\), точка \(F\) — середина ребра \(AD\). Выразите вектор \(\overrightarrow{EF}\) через векторы \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{AA_1}\).
Для любых точек \(E\), \(C\), \(D\) и \(F\) выполняется равенство \(\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DF}\).
Грань \(ABCD\) куба — квадрат, поэтому \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\). Грани \(AA_1D_1D\) и \(DD_1C_1C\) — квадраты, поэтому \(\overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AA_1}\).
Точка \(E\) — середина ребра \(CC_1\): векторы \(\overrightarrow{EC}\) и \(\overrightarrow{C_1C}\) сонаправлены и \(EC = \frac{1}{2}C_1C\), поэтому по определению произведения вектора на число \(\overrightarrow{EC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{C_1C} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{CC_1} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AA_1}\). Точка \(F\) — середина ребра \(AD\), поэтому так же \(\overrightarrow{DF} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DA} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}\).
Значит, \[\overrightarrow{EF} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AA_1} - \overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AA_1}.\]
Ответ: \(\overrightarrow{EF} = -\overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AA_1}\).
