Страница 39 номер 4.33, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Пусть \(G\) и \(G_1\) — точки пересечения медиан треугольников \(ABC\) и \(M_1M_2M_3\). Для точки пересечения медиан любого треугольника и любой точки \(X\) пространства вектор с началом \(X\) и концом в этой точке равен одной трети суммы векторов, проведённых из точки \(X\) в вершины треугольника: например, \(\overrightarrow{XG} = \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{XA} + \overrightarrow{XB} + \overrightarrow{XC}\right)\).

Применим это правило к треугольникам \(ABD\), \(BCD\), \(ADC\) и \(ABC\) при \(X = D\) (вектор \(\overrightarrow{DD}\) нулевой): \[\begin{aligned} \overrightarrow{DM_1} &= \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB}\right); \\ \overrightarrow{DM_2} &= \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC}\right); \\ \overrightarrow{DM_3} &= \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC}\right); \\ \overrightarrow{DG} &= \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC}\right). \end{aligned}\]

Сложим первые три равенства: \[\begin{aligned} &\overrightarrow{DM_1} + \overrightarrow{DM_2} + \overrightarrow{DM_3} = \frac{1}{3}\left(2\overrightarrow{DA} + 2\overrightarrow{DB} + 2\overrightarrow{DC}\right) = {} \\ &= 2 \cdot \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC}\right) = 2\overrightarrow{DG}. \end{aligned}\]

Применим то же правило к треугольнику \(M_1M_2M_3\) при \(X = D\): \[\overrightarrow{DG_1} = \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{DM_1} + \overrightarrow{DM_2} + \overrightarrow{DM_3}\right) = \frac{1}{3} \cdot 2\overrightarrow{DG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{DG}.\]

Из равенства \(\overrightarrow{DG_1} = \frac{2}{3}\overrightarrow{DG}\) получаем, что точки \(D\), \(G_1\) и \(G\) лежат на одной прямой.

Ответ: точки пересечения медиан треугольников \(ABC\) и \(M_1M_2M_3\) и точка \(D\) лежат на одной прямой.