Страница 41 номер 4.47, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точки \(M\), \(N\) и \(K\) — середины соответственно рёбер \(BD\), \(CD\) и \(AB\) тетраэдра \(DABC\). На прямых \(BN\) и \(CK\) отмечены соответственно точки \(F\) и \(E\) так, что \(FE \parallel AM\). Найдите отношение \(\frac{FE}{AM}\).
Дано:
\(DABC\) — тетраэдр
\(M\), \(N\), \(K\) — середины рёбер \(BD\), \(CD\), \(AB\)
\(F\) — точка прямой \(BN\), \(E\) — точка прямой \(CK\), \(FE \parallel AM\)
Найти: \(\frac{FE}{AM}\).
Решение:
Обозначим \(\overrightarrow{BA} = \vec{a}\), \(\overrightarrow{BD} = \vec{b}\), \(\overrightarrow{BC} = \vec{c}\). Рёбра тетраэдра, выходящие из вершины \(B\), не лежат в одной плоскости, поэтому эти векторы некомпланарны, то есть образуют базис.
Вектор, проведённый из точки в середину отрезка, равен полусумме векторов, проведённых из этой точки в концы отрезка, поэтому \(\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\vec{b}\), \(\overrightarrow{BN} = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})\) и \(\overrightarrow{BK} = \frac{1}{2}\vec{a}\).
Точка \(F\) лежит на прямой \(BN\), поэтому векторы \(\overrightarrow{BF}\) и \(\overrightarrow{BN}\) коллинеарны; так как \(\overrightarrow{BN} \ne \vec{0}\), существует число \(x\) такое, что \(\overrightarrow{BF} = x\overrightarrow{BN}\). Так же \(\overrightarrow{CE} = y\overrightarrow{CK}\) для некоторого числа \(y\). Тогда \[\begin{aligned} \overrightarrow{BF} &= \frac{x}{2}\vec{b} + \frac{x}{2}\vec{c}; \\ \overrightarrow{BE} &= \overrightarrow{BC} + y\left(\overrightarrow{BK} - \overrightarrow{BC}\right) = \frac{y}{2}\vec{a} + (1 - y)\vec{c}; \\ \overrightarrow{FE} &= \overrightarrow{BE} - \overrightarrow{BF} = \frac{y}{2}\vec{a} - \frac{x}{2}\vec{b} + \left(1 - y - \frac{x}{2}\right)\vec{c}; \\ \overrightarrow{AM} &= \overrightarrow{BM} - \overrightarrow{BA} = -\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}. \end{aligned}\]
Прямые \(FE\) и \(AM\) параллельны, поэтому векторы \(\overrightarrow{FE}\) и \(\overrightarrow{AM}\) коллинеарны; так как \(\overrightarrow{AM} \ne \vec{0}\), существует число \(k\) такое, что \(\overrightarrow{FE} = k\overrightarrow{AM} = -k\vec{a} + \frac{k}{2}\vec{b}\). Вектор \(\overrightarrow{FE}\) получил два разложения по базису \((\vec{a}; \vec{b}; \vec{c})\); такое разложение единственно, поэтому коэффициенты при одинаковых векторах равны: \[\begin{cases} \frac{y}{2} = -k, \\ -\frac{x}{2} = \frac{k}{2}, \\ 1 - y - \frac{x}{2} = 0. \end{cases}\]
Из первых двух уравнений \(y = -2k\) и \(x = -k\). Подставим их в третье уравнение: \[\begin{aligned} 1 + 2k + \frac{k}{2} &= 0; \\ \frac{5}{2}k &= -1; \qquad | \cdot \frac{2}{5} \\ k &= -\frac{2}{5}. \end{aligned}\]
Тогда \(x = \frac{2}{5}\), \(y = \frac{4}{5}\), так что точки \(F\) и \(E\) лежат на отрезках \(BN\) и \(CK\), и \(\overrightarrow{FE} = -\frac{2}{5}\overrightarrow{AM}\). Отсюда \(FE = \left|-\frac{2}{5}\right| \cdot AM = \frac{2}{5}AM\), то есть \(\frac{FE}{AM} = \frac{2}{5}\).
Ответ: \(\frac{FE}{AM} = \frac{2}{5}\).
