Страница 40 номер 4.37, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точка \(M\) — центроид тетраэдра \(DABC\). Докажите, что для любой точки \(X\) пространства \(\overrightarrow{XM} = \frac{1}{4}\left(\overrightarrow{XA} + \overrightarrow{XB} + \overrightarrow{XC} + \overrightarrow{XD}\right)\).
Пусть \(G\) — точка пересечения медиан треугольника \(ABC\). Отрезок \(DG\) соединяет вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противолежащей грани, то есть является медианой тетраэдра. Медианы тетраэдра пересекаются в одной точке — его центроиде — и делятся ею в отношении \(3 : 1\), считая от вершины. Поэтому центроид \(M\) лежит на отрезке \(DG\) и \(DM : MG = 3 : 1\).
Значит, \(DM = \frac{3}{4}DG\); векторы \(\overrightarrow{DM}\) и \(\overrightarrow{DG}\) сонаправлены, поэтому \(\overrightarrow{DM} = \frac{3}{4}\overrightarrow{DG}\). Для произвольной точки \(X\) пространства по правилу треугольника и правилу разности векторов, отложенных от одной точки, \[\overrightarrow{XM} = \overrightarrow{XD} + \frac{3}{4}\left(\overrightarrow{XG} - \overrightarrow{XD}\right) = \frac{1}{4}\overrightarrow{XD} + \frac{3}{4}\overrightarrow{XG}.\]
Вектор, проведённый из любой точки пространства в точку пересечения медиан треугольника, равен трети суммы векторов, проведённых из этой точки в вершины треугольника: \(\overrightarrow{XG} = \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{XA} + \overrightarrow{XB} + \overrightarrow{XC}\right)\). Тогда \[\begin{aligned} &\overrightarrow{XM} = \frac{1}{4}\overrightarrow{XD} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{XA} + \overrightarrow{XB} + \overrightarrow{XC}\right) = {} \\ &= \frac{1}{4}\left(\overrightarrow{XA} + \overrightarrow{XB} + \overrightarrow{XC} + \overrightarrow{XD}\right). \end{aligned}\]
Ответ: для любой точки \(X\) пространства \(\overrightarrow{XM} = \frac{1}{4}\left(\overrightarrow{XA} + \overrightarrow{XB} + \overrightarrow{XC} + \overrightarrow{XD}\right)\).
