Страница 39 номер 4.28, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Медианы грани \(ABC\) тетраэдра \(DABC\) пересекаются в точке \(O\). Выразите вектор \(\overrightarrow{DC}\) через векторы \(\overrightarrow{DA}\), \(\overrightarrow{DB}\) и \(\overrightarrow{DO}\).
Точка \(O\) — точка пересечения медиан треугольника \(ABC\), поэтому для любой точки \(X\) пространства выполняется равенство \(\overrightarrow{XO} = \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{XA} + \overrightarrow{XB} + \overrightarrow{XC}\right)\).
При \(X = D\) получаем: \[\begin{aligned} \overrightarrow{DO} &= \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC}\right); \qquad | \cdot 3 \\ 3\overrightarrow{DO} &= \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC}; \\ \overrightarrow{DC} &= -\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DB} + 3\overrightarrow{DO}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DB} + 3\overrightarrow{DO}\).
