Страница 29 номер 3.35, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Одно из оснований прямоугольной трапеции на 7 см меньше другого, а бо́льшая боковая сторона равна 25 см. Найдите площадь трапеции, если её меньшая диагональ делит прямой угол трапеции пополам.
Дано:
\(ABCD\) — прямоугольная трапеция
\(AD \parallel BC\)
\(\angle BAD = \angle ABC = 90^\circ\)
\(AD - BC = 7\) см
\(CD = 25\) см
\(\angle BAC = \angle CAD\)
Найти: \(S_{ABCD}\) — площадь трапеции.
Решение: Проведём высоту \(CH\) трапеции.
Четырёхугольник \(ABCH\) — прямоугольник (его углы \(A\), \(B\) и \(H\) прямые), поэтому \(CH = AB\), \(AH = BC\) и \(HD = AD - AH = AD - BC = 7\) см. Боковая сторона \(CD\) — гипотенуза прямоугольного треугольника \(CHD\), поэтому \(CD > CH = AB\), то есть \(CD\) — бо́льшая боковая сторона трапеции.
Из прямоугольных треугольников \(ABC\) и \(BAD\) по теореме Пифагора \(AC^2 = AB^2 + BC^2\) и \(BD^2 = AB^2 + AD^2\), а \(BC < AD\), поэтому \(AC < BD\). Значит, меньшая диагональ трапеции — \(AC\), и она делит прямой угол \(BAD\) пополам: \(\angle BAC = \angle CAD = 45^\circ\).
В прямоугольном треугольнике \(ABC\) угол \(BAC\) равен \(45^\circ\), поэтому \(\angle BCA = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\) и треугольник \(ABC\) равнобедренный: \(BC = AB = CH\).
По теореме Пифагора из треугольника \(CHD\): \(CH = \sqrt{CD^2 - HD^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{576} = 24\) (см). Тогда \(BC = CH = 24\) см и \(AD = BC + 7 = 31\) см.
\(S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot CH = \frac{31 + 24}{2} \cdot 24 = 660\) (см\(^2\)).
Ответ: 660 см\(^2\).
Одно из оснований прямоугольной трапеции на 7 см меньше другого, а бо́льшая боковая сторона равна 25 см. Найдите площадь трапеции, если её меньшая диагональ делит прямой угол трапеции пополам.
Дано:
\(ABCD\) — прямоугольная трапеция
\(AD \parallel BC\)
\(\angle BAD = \angle ABC = 90^\circ\)
\(AD - BC = 7\) см
\(CD = 25\) см
\(\angle BAC = \angle CAD\)
Найти: \(S_{ABCD}\) — площадь трапеции.
Решение: Проведём высоту \(CH\) трапеции.
Четырёхугольник \(ABCH\) — прямоугольник (его углы \(A\), \(B\) и \(H\) прямые), поэтому \(CH = AB\), \(AH = BC\) и \(HD = AD - AH = AD - BC = 7\) см. Боковая сторона \(CD\) — гипотенуза прямоугольного треугольника \(CHD\), поэтому \(CD > CH = AB\), то есть \(CD\) — бо́льшая боковая сторона трапеции.
Из прямоугольных треугольников \(ABC\) и \(BAD\) по теореме Пифагора \(AC^2 = AB^2 + BC^2\) и \(BD^2 = AB^2 + AD^2\), а \(BC < AD\), поэтому \(AC < BD\). Значит, меньшая диагональ трапеции — \(AC\), и она делит прямой угол \(BAD\) пополам: \(\angle BAC = \angle CAD = 45^\circ\).
В прямоугольном треугольнике \(ABC\) угол \(BAC\) равен \(45^\circ\), поэтому \(\angle BCA = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\) и треугольник \(ABC\) равнобедренный: \(BC = AB = CH\), то есть меньшее основание трапеции равно её высоте.
По теореме Пифагора из треугольника \(CHD\): \(CH = \sqrt{CD^2 - HD^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{576} = 24\) (см). Тогда \(BC = CH = 24\) см и \(AD = BC + 7 = 31\) см.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: \(S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot CH = \frac{31 + 24}{2} \cdot 24 = 660\) (см\(^2\)).
Ответ: 660 см\(^2\).
