Страница 38 номер 4.19, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Точка \(M\) — середина ребра \(A_1B_1\), точка \(K\) — середина ребра \(CC_1\). Выразите вектор \(\overrightarrow{MK}\) через векторы \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{AA_1}\).
Для любых точек \(M\), \(B_1\), \(C_1\) и \(K\) выполняется равенство \(\overrightarrow{MK} = \overrightarrow{MB_1} + \overrightarrow{B_1C_1} + \overrightarrow{C_1K}\).
Грани параллелепипеда — параллелограммы. Из параллелограммов \(AA_1B_1B\), \(BB_1C_1C\) и \(ABCD\) получаем \(\overrightarrow{A_1B_1} = \overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{B_1C_1} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}\), из параллелограммов \(DD_1C_1C\) и \(AA_1D_1D\) — \(\overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AA_1}\).
Точка \(M\) — середина ребра \(A_1B_1\): векторы \(\overrightarrow{MB_1}\) и \(\overrightarrow{A_1B_1}\) сонаправлены и \(MB_1 = \frac{1}{2}A_1B_1\), поэтому \(\overrightarrow{MB_1} = \frac{1}{2}\overrightarrow{A_1B_1} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\). Точка \(K\) — середина ребра \(CC_1\), поэтому так же \(\overrightarrow{C_1K} = \frac{1}{2}\overrightarrow{C_1C}\); вектор \(\overrightarrow{C_1C}\) противоположен вектору \(\overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{AA_1}\), поэтому \(\overrightarrow{C_1K} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AA_1}\).
Значит, \[\overrightarrow{MK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AA_1}.\]
Ответ: \(\overrightarrow{MK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AA_1}\).
Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Точка \(M\) — середина ребра \(A_1B_1\), точка \(K\) — середина ребра \(CC_1\). Выразите вектор \(\overrightarrow{MK}\) через векторы \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{AA_1}\).
Для любых точек \(M\), \(B_1\), \(C_1\) и \(K\) выполняется равенство \(\overrightarrow{MK} = \overrightarrow{MB_1} + \overrightarrow{B_1C_1} + \overrightarrow{C_1K}\).
Грани параллелепипеда — параллелограммы. Из параллелограммов \(AA_1B_1B\), \(BB_1C_1C\) и \(ABCD\) получаем \(\overrightarrow{A_1B_1} = \overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{B_1C_1} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}\), из параллелограммов \(DD_1C_1C\) и \(AA_1D_1D\) — \(\overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AA_1}\).
Точка \(M\) — середина ребра \(A_1B_1\): векторы \(\overrightarrow{MB_1}\) и \(\overrightarrow{A_1B_1}\) сонаправлены и \(MB_1 = \frac{1}{2}A_1B_1\), поэтому по определению произведения вектора на число \(\overrightarrow{MB_1} = \frac{1}{2}\overrightarrow{A_1B_1} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\). Точка \(K\) — середина ребра \(CC_1\), поэтому так же \(\overrightarrow{C_1K} = \frac{1}{2}\overrightarrow{C_1C}\); вектор \(\overrightarrow{C_1C}\) противоположен вектору \(\overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{AA_1}\), поэтому \(\overrightarrow{C_1K} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AA_1}\).
Значит, \[\overrightarrow{MK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AA_1}.\]
Ответ: \(\overrightarrow{MK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AA_1}\).
