Страница 37 номер 4.12, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дан вектор \(\vec{a}(3; 2; 1)\). Найдите коллинеарный ему вектор \(\overrightarrow{AB}\), если \(A(1; 1; 1)\), а точка \(B\) принадлежит плоскости \(yz\).
Точка \(B\) принадлежит плоскости \(yz\), поэтому её абсцисса равна нулю: \(B(0; y; z)\).
\(\overrightarrow{AB}(0 - 1; y - 1; z - 1)\), то есть \(\overrightarrow{AB}(-1; y - 1; z - 1)\).
Вектор \(\vec{a}\) ненулевой, а вектор \(\overrightarrow{AB}\) ему коллинеарен, поэтому \(\overrightarrow{AB} = k\vec{a}\) для некоторого числа \(k\). Вектор \(k\vec{a}\) имеет координаты \((3k; 2k; k)\), а у равных векторов соответствующие координаты равны: \(-1 = 3k\), \(y - 1 = 2k\), \(z - 1 = k\). Из первого равенства \(k = -\frac{1}{3}\), тогда \(y - 1 = -\frac{2}{3}\), \(z - 1 = -\frac{1}{3}\). Значит, \(\overrightarrow{AB}\left(-1; -\frac{2}{3}; -\frac{1}{3}\right)\); при этом \(y = \frac{1}{3}\), \(z = \frac{2}{3}\), то есть \(B\left(0; \frac{1}{3}; \frac{2}{3}\right)\).
Ответ: \(\overrightarrow{AB}\left(-1; -\frac{2}{3}; -\frac{1}{3}\right)\).
Дан вектор \(\vec{a}(3; 2; 1)\). Найдите коллинеарный ему вектор \(\overrightarrow{AB}\), если \(A(1; 1; 1)\), а точка \(B\) принадлежит плоскости \(yz\).
Точка \(B\) принадлежит плоскости \(yz\), поэтому её абсцисса равна нулю: \(B(0; y; z)\). Координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала, поэтому \(\overrightarrow{AB}(0 - 1; y - 1; z - 1)\), то есть \(\overrightarrow{AB}(-1; y - 1; z - 1)\).
Вектор \(\vec{a}\) ненулевой, а вектор \(\overrightarrow{AB}\) ему коллинеарен, поэтому \(\overrightarrow{AB} = k\vec{a}\) для некоторого числа \(k\). Вектор \(k\vec{a}\) имеет координаты \((3k; 2k; k)\), а у равных векторов соответствующие координаты равны: \(-1 = 3k\), \(y - 1 = 2k\), \(z - 1 = k\). Из первого равенства \(k = -\frac{1}{3}\), тогда \(y - 1 = -\frac{2}{3}\), \(z - 1 = -\frac{1}{3}\). Значит, \(\overrightarrow{AB}\left(-1; -\frac{2}{3}; -\frac{1}{3}\right)\); при этом \(y = \frac{1}{3}\), \(z = \frac{2}{3}\), то есть \(B\left(0; \frac{1}{3}; \frac{2}{3}\right)\).
Ответ: \(\overrightarrow{AB}\left(-1; -\frac{2}{3}; -\frac{1}{3}\right)\).
