Страница 39 номер 4.26, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(PO = 25\) см — высота пирамиды с вершиной \(P\)
\(M\) — точка высоты \(PO\)
секущая плоскость проходит через точку \(M\) параллельно плоскости основания
\(S_1 = 12\) см\(^2\) и \(S = 75\) см\(^2\) — площади оснований усечённой пирамиды

Найти: \(PM\).

Решение: Основания усечённой пирамиды — основание данной пирамиды и её сечение секущей плоскостью. Основания усечённой пирамиды — гомотетичные многоугольники: сечение — образ основания пирамиды при гомотетии с центром \(P\) и некоторым коэффициентом \(k\).

Центр гомотетии \(P\) не лежит в плоскости основания, поэтому образ этой плоскости — параллельная ей плоскость; она содержит сечение, то есть совпадает с секущей плоскостью. Значит, образ точки \(O\) — точка прямой \(PO\), лежащая в секущей плоскости, то есть точка \(M\): \(\overrightarrow{PM} = k\overrightarrow{PO}\). Точка \(M\) лежит на отрезке \(PO\) и отлична от его концов, поэтому векторы \(\overrightarrow{PM}\) и \(\overrightarrow{PO}\) сонаправлены и по определению произведения вектора на число \(\overrightarrow{PM} = \frac{PM}{PO}\overrightarrow{PO}\). Значит, \(k = \frac{PM}{PO}\), причём \(0 < k < 1\).

При гомотетии площадь многоугольника изменяется в \(k^2\) раз, а \(k^2 < 1\), поэтому сечение — меньшее основание усечённой пирамиды: его площадь равна \(S_1\), а площадь основания пирамиды равна \(S\). Тогда \(k^2 = \frac{S_1}{S} = \frac{12}{75} = \frac{4}{25}\), и так как \(k > 0\), то \(k = \frac{2}{5}\).

Значит, \(PM = k \cdot PO = \frac{2}{5} \cdot 25 = 10\) (см).

Ответ: \(10\) см.