Страница 37 номер 4.13, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Даны точки \(A(-3; 6; 4)\), \(B(6; -1; 2)\) и \(C(0; 3; -2)\). Найдите точку \(D\), принадлежащую плоскости \(xz\), такую, что \(\overrightarrow{AD} \parallel \overrightarrow{BC}\).
Точка \(D\) принадлежит плоскости \(xz\), поэтому её ордината равна нулю: \(D(x; 0; z)\).
\(\overrightarrow{AD}(x - (-3); 0 - 6; z - 4)\), то есть \(\overrightarrow{AD}(x + 3; -6; z - 4)\); \(\overrightarrow{BC}(0 - 6; 3 - (-1); -2 - 2)\), то есть \(\overrightarrow{BC}(-6; 4; -4)\).
Вектор \(\overrightarrow{BC}\) ненулевой, поэтому из \(\overrightarrow{AD} \parallel \overrightarrow{BC}\) следует, что \(\overrightarrow{AD} = k\overrightarrow{BC}\) для некоторого числа \(k\). Вектор \(k\overrightarrow{BC}\) имеет координаты \((-6k; 4k; -4k)\), а у равных векторов соответствующие координаты равны: \(x + 3 = -6k\), \(-6 = 4k\), \(z - 4 = -4k\). Из второго равенства \(k = -\frac{3}{2}\), тогда \(x + 3 = 9\), \(z - 4 = 6\), откуда \(x = 6\), \(z = 10\).
Ответ: \(D(6; 0; 10)\).
Даны точки \(A(-3; 6; 4)\), \(B(6; -1; 2)\) и \(C(0; 3; -2)\). Найдите точку \(D\), принадлежащую плоскости \(xz\), такую, что \(\overrightarrow{AD} \parallel \overrightarrow{BC}\).
Точка \(D\) принадлежит плоскости \(xz\), поэтому её ордината равна нулю: \(D(x; 0; z)\). Координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала: \(\overrightarrow{AD}(x - (-3); 0 - 6; z - 4)\), то есть \(\overrightarrow{AD}(x + 3; -6; z - 4)\); \(\overrightarrow{BC}(0 - 6; 3 - (-1); -2 - 2)\), то есть \(\overrightarrow{BC}(-6; 4; -4)\).
Вектор \(\overrightarrow{BC}\) ненулевой, поэтому из \(\overrightarrow{AD} \parallel \overrightarrow{BC}\) следует, что \(\overrightarrow{AD} = k\overrightarrow{BC}\) для некоторого числа \(k\). Вектор \(k\overrightarrow{BC}\) имеет координаты \((-6k; 4k; -4k)\), а у равных векторов соответствующие координаты равны: \(x + 3 = -6k\), \(-6 = 4k\), \(z - 4 = -4k\). Из второго равенства \(k = -\frac{3}{2}\), тогда \(x + 3 = 9\), \(z - 4 = 6\), откуда \(x = 6\), \(z = 10\).
Ответ: \(D(6; 0; 10)\).
