Страница 39 номер 4.34, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Для тетраэдра \(DABC\) обозначим \(\overrightarrow{AB} = \vec{b}\), \(\overrightarrow{AC} = \vec{c}\), \(\overrightarrow{AD} = \vec{d}\).
Точка \(M\) лежит на отрезке \(DB\), и \(DM : MB = 2 : 1\), поэтому \(DM = \frac{2}{3}DB\); векторы \(\overrightarrow{DM}\) и \(\overrightarrow{DB}\) сонаправлены, значит, \(\overrightarrow{DM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{DB}\). По правилу треугольника и правилу разности векторов, отложенных от одной точки, \[\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow{DB} = \vec{d} + \frac{2}{3}(\vec{b} - \vec{d}) = \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{d}.\]
Вектор, проведённый из точки в середину отрезка, равен полусумме векторов, проведённых из этой точки в концы отрезка. Поэтому для середин \(E\) и \(F\) рёбер \(BC\) и \(AD\) получаем \(\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})\) и \(\overrightarrow{AF} = \frac{1}{2}\vec{d}\). Точка \(K\) лежит на отрезке \(FE\), и так же, как для точки \(M\), из равенства \(FK : KE = 2 : 1\) следует \(\overrightarrow{FK} = \frac{2}{3}\overrightarrow{FE}\), откуда \[\begin{aligned} &\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AF} + \frac{2}{3}\left(\overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AF}\right) = {} \\ &= \frac{1}{3}\overrightarrow{AF} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AE} = \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c} + \frac{1}{6}\vec{d}. \end{aligned}\]
Точка \(P\) лежит на отрезке \(AC\), и \(AP : PC = 2 : 1\), то есть \(AP = \frac{2}{3}AC\), поэтому \(\overrightarrow{AP} = \frac{2}{3}\vec{c}\). Тогда \[\begin{aligned} \overrightarrow{MK} &= \overrightarrow{AK} - \overrightarrow{AM} = -\frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c} - \frac{1}{6}\vec{d}; \\ \overrightarrow{MP} &= \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AM} = -\frac{2}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c} - \frac{1}{3}\vec{d}. \end{aligned}\]
Значит, \(\overrightarrow{MP} = 2\overrightarrow{MK}\). Из этого равенства следует, что векторы \(\overrightarrow{MP}\) и \(\overrightarrow{MK}\) коллинеарны, а так как они отложены от одной точки \(M\), точки \(M\), \(K\) и \(P\) лежат на одной прямой.
Ответ: точки \(M\), \(K\) и \(P\) лежат на одной прямой.
Для тетраэдра \(DABC\) обозначим \(\overrightarrow{AB} = \vec{b}\), \(\overrightarrow{AC} = \vec{c}\), \(\overrightarrow{AD} = \vec{d}\) и выразим через них векторы \(\overrightarrow{MK}\) и \(\overrightarrow{MP}\).
Точка \(M\) лежит на отрезке \(DB\), и \(DM : MB = 2 : 1\), поэтому \(DM = \frac{2}{3}DB\); векторы \(\overrightarrow{DM}\) и \(\overrightarrow{DB}\) сонаправлены, значит, \(\overrightarrow{DM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{DB}\). По правилу треугольника и правилу разности векторов, отложенных от одной точки, \[\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow{DB} = \vec{d} + \frac{2}{3}(\vec{b} - \vec{d}) = \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{d}.\]
Вектор, проведённый из точки в середину отрезка, равен полусумме векторов, проведённых из этой точки в концы отрезка. Поэтому для середин \(E\) и \(F\) рёбер \(BC\) и \(AD\) получаем \(\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})\) и \(\overrightarrow{AF} = \frac{1}{2}\vec{d}\). Точка \(K\) лежит на отрезке \(FE\), и так же, как для точки \(M\), из равенства \(FK : KE = 2 : 1\) следует \(\overrightarrow{FK} = \frac{2}{3}\overrightarrow{FE}\), откуда \[\begin{aligned} &\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AF} + \frac{2}{3}\left(\overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AF}\right) = {} \\ &= \frac{1}{3}\overrightarrow{AF} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AE} = \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c} + \frac{1}{6}\vec{d}. \end{aligned}\]
Точка \(P\) лежит на отрезке \(AC\), и \(AP : PC = 2 : 1\), то есть \(AP = \frac{2}{3}AC\), поэтому \(\overrightarrow{AP} = \frac{2}{3}\vec{c}\). Тогда \[\begin{aligned} \overrightarrow{MK} &= \overrightarrow{AK} - \overrightarrow{AM} = -\frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c} - \frac{1}{6}\vec{d}; \\ \overrightarrow{MP} &= \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AM} = -\frac{2}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c} - \frac{1}{3}\vec{d}. \end{aligned}\]
Значит, \(\overrightarrow{MP} = 2\overrightarrow{MK}\). Из этого равенства следует, что векторы \(\overrightarrow{MP}\) и \(\overrightarrow{MK}\) коллинеарны, а так как они отложены от одной точки \(M\), точки \(M\), \(K\) и \(P\) лежат на одной прямой.
Ответ: точки \(M\), \(K\) и \(P\) лежат на одной прямой.
