Страница 38 номер 4.22, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Образом точки \(M(2; 3; -5)\) при гомотетии с центром \(A(1; 0; -1)\) является точка \(M_1(4; 9; -13)\). Найдите прообраз \(K\) точки \(K_1(16; -21; 2)\) при этой гомотетии.
Пусть \(k\) — коэффициент гомотетии. Точка \(M_1\) — образ точки \(M\) при гомотетии с центром \(A\), поэтому \(\overrightarrow{AM_1} = k\overrightarrow{AM}\).
\(\overrightarrow{AM}(2 - 1; 3 - 0; -5 - (-1))\), то есть \(\overrightarrow{AM}(1; 3; -4)\), и \(\overrightarrow{AM_1}(4 - 1; 9 - 0; -13 - (-1))\), то есть \(\overrightarrow{AM_1}(3; 9; -12)\). Вектор \(k\overrightarrow{AM}\) имеет координаты \((k; 3k; -4k)\), а равные векторы имеют равные соответствующие координаты, поэтому \(k = 3\), \(3k = 9\), \(-4k = -12\). Все три равенства выполняются при \(k = 3\).
Точка \(K_1\) — образ точки \(K\), поэтому \(\overrightarrow{AK_1} = 3\overrightarrow{AK}\), откуда \(\overrightarrow{AK} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AK_1}\). Вектор \(\overrightarrow{AK_1}\) имеет координаты \((16 - 1; -21 - 0; 2 - (-1))\), то есть \((15; -21; 3)\), поэтому вектор \(\frac{1}{3}\overrightarrow{AK_1}\) имеет координаты \((5; -7; 1)\). Пусть \(K(x; y; z)\), тогда вектор \(\overrightarrow{AK}\) имеет координаты \((x - 1; y - 0; z + 1)\), и \(x - 1 = 5\), \(y = -7\), \(z + 1 = 1\), откуда \(x = 6\), \(y = -7\), \(z = 0\).
Ответ: \(K(6; -7; 0)\).
Образом точки \(M(2; 3; -5)\) при гомотетии с центром \(A(1; 0; -1)\) является точка \(M_1(4; 9; -13)\). Найдите прообраз \(K\) точки \(K_1(16; -21; 2)\) при этой гомотетии.
Пусть \(k\) — коэффициент гомотетии. Точка \(M_1\) — образ точки \(M\) при гомотетии с центром \(A\), поэтому \(\overrightarrow{AM_1} = k\overrightarrow{AM}\). Координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала: \(\overrightarrow{AM}(2 - 1; 3 - 0; -5 - (-1))\), то есть \(\overrightarrow{AM}(1; 3; -4)\), и \(\overrightarrow{AM_1}(4 - 1; 9 - 0; -13 - (-1))\), то есть \(\overrightarrow{AM_1}(3; 9; -12)\). Вектор \(k\overrightarrow{AM}\) имеет координаты \((k; 3k; -4k)\), а равные векторы имеют равные соответствующие координаты, поэтому \(k = 3\), \(3k = 9\), \(-4k = -12\). Все три равенства выполняются при \(k = 3\).
Точка \(K_1\) — образ точки \(K\), поэтому \(\overrightarrow{AK_1} = 3\overrightarrow{AK}\), откуда \(\overrightarrow{AK} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AK_1}\). Вектор \(\overrightarrow{AK_1}\) имеет координаты \((16 - 1; -21 - 0; 2 - (-1))\), то есть \((15; -21; 3)\), поэтому вектор \(\frac{1}{3}\overrightarrow{AK_1}\) имеет координаты \((5; -7; 1)\). Пусть \(K(x; y; z)\), тогда вектор \(\overrightarrow{AK}\) имеет координаты \((x - 1; y - 0; z + 1)\), и \(x - 1 = 5\), \(y = -7\), \(z + 1 = 1\), откуда \(x = 6\), \(y = -7\), \(z = 0\).
Ответ: \(K(6; -7; 0)\).
