Страница 38 номер 4.16, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Лежат ли на одной прямой точки: 1) \(A(5; 6; -4)\), \(B(7; 8; 2)\) и \(C(3; 4; 14)\); 2) \(D(-1; -7; -8)\), \(E(0; -4; -4)\) и \(F(2; 2; 4)\)?
1) \(\overrightarrow{AB}(7 - 5; 8 - 6; 2 - (-4))\), то есть \(\overrightarrow{AB}(2; 2; 6)\); \(\overrightarrow{AC}(3 - 5; 4 - 6; 14 - (-4))\), то есть \(\overrightarrow{AC}(-2; -2; 18)\).
Если бы точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежали на одной прямой, то векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) лежали бы на этой прямой, то есть были бы коллинеарны. Вектор \(\overrightarrow{AB}\) ненулевой, поэтому тогда нашлось бы такое число \(k\), что \(\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}\). Вектор \(k\overrightarrow{AB}\) имеет координаты \((2k; 2k; 6k)\), а у равных векторов соответствующие координаты равны: \(-2 = 2k\), \(-2 = 2k\), \(18 = 6k\). Из первого равенства \(k = -1\), а из третьего \(k = 3\) — противоречие. Значит, точки \(A\), \(B\) и \(C\) не лежат на одной прямой.
2) \(\overrightarrow{DE}(0 - (-1); -4 - (-7); -4 - (-8))\), то есть \(\overrightarrow{DE}(1; 3; 4)\); \(\overrightarrow{DF}(2 - (-1); 2 - (-7); 4 - (-8))\), то есть \(\overrightarrow{DF}(3; 9; 12)\). Вектор \(3\overrightarrow{DE}\) имеет координаты \((3; 9; 12)\) — те же, что у вектора \(\overrightarrow{DF}\), поэтому \(\overrightarrow{DF} = 3\overrightarrow{DE}\). Из этого равенства получаем, что точки \(D\), \(E\) и \(F\) лежат на одной прямой: векторы \(\overrightarrow{DE}\) и \(\overrightarrow{DF}\) коллинеарны и отложены от одной точки \(D\).
Ответ: 1) нет, точки \(A\), \(B\) и \(C\) не лежат на одной прямой; 2) да, точки \(D\), \(E\) и \(F\) лежат на одной прямой.
Лежат ли на одной прямой точки: 1) \(A(5; 6; -4)\), \(B(7; 8; 2)\) и \(C(3; 4; 14)\); 2) \(D(-1; -7; -8)\), \(E(0; -4; -4)\) и \(F(2; 2; 4)\)?
1) Координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала: \(\overrightarrow{AB}(7 - 5; 8 - 6; 2 - (-4))\), то есть \(\overrightarrow{AB}(2; 2; 6)\); \(\overrightarrow{AC}(3 - 5; 4 - 6; 14 - (-4))\), то есть \(\overrightarrow{AC}(-2; -2; 18)\).
Если бы точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежали на одной прямой, то векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) лежали бы на этой прямой, то есть были бы коллинеарны. Вектор \(\overrightarrow{AB}\) ненулевой, поэтому тогда нашлось бы такое число \(k\), что \(\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}\). Вектор \(k\overrightarrow{AB}\) имеет координаты \((2k; 2k; 6k)\), а у равных векторов соответствующие координаты равны: \(-2 = 2k\), \(-2 = 2k\), \(18 = 6k\). Из первого равенства \(k = -1\), а из третьего \(k = 3\) — противоречие. Значит, точки \(A\), \(B\) и \(C\) не лежат на одной прямой.
2) Координаты векторов с общим началом \(D\): \(\overrightarrow{DE}(0 - (-1); -4 - (-7); -4 - (-8))\), то есть \(\overrightarrow{DE}(1; 3; 4)\); \(\overrightarrow{DF}(2 - (-1); 2 - (-7); 4 - (-8))\), то есть \(\overrightarrow{DF}(3; 9; 12)\). Вектор \(3\overrightarrow{DE}\) имеет координаты \((3; 9; 12)\) — те же, что у вектора \(\overrightarrow{DF}\), поэтому \(\overrightarrow{DF} = 3\overrightarrow{DE}\). Из этого равенства получаем, что точки \(D\), \(E\) и \(F\) лежат на одной прямой: векторы \(\overrightarrow{DE}\) и \(\overrightarrow{DF}\) коллинеарны и отложены от одной точки \(D\).
Ответ: 1) нет, точки \(A\), \(B\) и \(C\) не лежат на одной прямой; 2) да, точки \(D\), \(E\) и \(F\) лежат на одной прямой.
