Страница 28 номер 3.34, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Докажите, что для любых чисел \(a\), \(b\), \(c\), \(a_1\), \(b_1\) и \(c_1\) выполняется неравенство \[\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} + \sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \geqslant \sqrt{(a + a_1)^2 + (b + b_1)^2 + (c + c_1)^2}.\]
Рассмотрим векторы \(\vec{m}(a; b; c)\) и \(\vec{n}(a_1; b_1; c_1)\). Вектор \(\vec{m} + \vec{n}\) имеет координаты \((a + a_1; b + b_1; c + c_1)\). \[\begin{aligned} |\vec{m}| &= \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}; \\ |\vec{n}| &= \sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}; \\ |\vec{m} + \vec{n}| &= \sqrt{(a + a_1)^2 + (b + b_1)^2 + (c + c_1)^2}. \end{aligned}\]
Значит, доказываемое неравенство можно записать так: \(|\vec{m}| + |\vec{n}| \geqslant |\vec{m} + \vec{n}|\).
Отложим от произвольной точки \(A\) вектор \(\overrightarrow{AB}\), равный вектору \(\vec{m}\), а от точки \(B\) — вектор \(\overrightarrow{BC}\), равный вектору \(\vec{n}\). По правилу треугольника \(\overrightarrow{AC} = \vec{m} + \vec{n}\). Модуль вектора равен длине соответствующего отрезка, поэтому \(|\vec{m}| = AB\), \(|\vec{n}| = BC\), \(|\vec{m} + \vec{n}| = AC\), и нужно доказать неравенство \(AB + BC \geqslant AC\).
Если точки \(A\), \(B\) и \(C\) не лежат на одной прямой, то они — вершины треугольника \(ABC\). Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, поэтому \(AC < AB + BC\).
Если точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежат на одной прямой (в частности, если некоторые из них совпадают), то одна из них лежит на отрезке с концами в двух других, и одно из расстояний \(AB\), \(BC\), \(AC\) равно сумме двух других. При \(AC = AB + BC\) доказываемое неравенство обращается в равенство. При \(AB = AC + BC\) получаем \(AC = AB - BC \leqslant AB \leqslant AB + BC\). При \(BC = AB + AC\) получаем \(AC = BC - AB \leqslant BC \leqslant AB + BC\).
Во всех случаях \(AB + BC \geqslant AC\), то есть \(|\vec{m}| + |\vec{n}| \geqslant |\vec{m} + \vec{n}|\), а это и есть доказываемое неравенство.
Ответ: при любых числах \(a\), \(b\), \(c\), \(a_1\), \(b_1\) и \(c_1\) выполняется неравенство \(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} + \sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \geqslant \sqrt{(a + a_1)^2 + (b + b_1)^2 + (c + c_1)^2}\).
Докажите, что для любых чисел \(a\), \(b\), \(c\), \(a_1\), \(b_1\) и \(c_1\) выполняется неравенство \[\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} + \sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \geqslant \sqrt{(a + a_1)^2 + (b + b_1)^2 + (c + c_1)^2}.\]
Рассмотрим векторы \(\vec{m}(a; b; c)\) и \(\vec{n}(a_1; b_1; c_1)\). Координаты суммы векторов равны суммам соответствующих координат, поэтому вектор \(\vec{m} + \vec{n}\) имеет координаты \((a + a_1; b + b_1; c + c_1)\). Модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его координат: \[\begin{aligned} |\vec{m}| &= \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}; \\ |\vec{n}| &= \sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}; \\ |\vec{m} + \vec{n}| &= \sqrt{(a + a_1)^2 + (b + b_1)^2 + (c + c_1)^2}. \end{aligned}\]
Значит, доказываемое неравенство можно записать так: \(|\vec{m}| + |\vec{n}| \geqslant |\vec{m} + \vec{n}|\).
Отложим от произвольной точки \(A\) вектор \(\overrightarrow{AB}\), равный вектору \(\vec{m}\), а от точки \(B\) — вектор \(\overrightarrow{BC}\), равный вектору \(\vec{n}\). По правилу треугольника \(\overrightarrow{AC} = \vec{m} + \vec{n}\). Модуль вектора равен длине соответствующего отрезка, поэтому \(|\vec{m}| = AB\), \(|\vec{n}| = BC\), \(|\vec{m} + \vec{n}| = AC\), и нужно доказать неравенство \(AB + BC \geqslant AC\).
Если точки \(A\), \(B\) и \(C\) не лежат на одной прямой, то они — вершины треугольника \(ABC\). Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, поэтому \(AC < AB + BC\).
Если точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежат на одной прямой (в частности, если некоторые из них совпадают), то одна из них лежит на отрезке с концами в двух других, и одно из расстояний \(AB\), \(BC\), \(AC\) равно сумме двух других. При \(AC = AB + BC\) доказываемое неравенство обращается в равенство. При \(AB = AC + BC\) получаем \(AC = AB - BC \leqslant AB \leqslant AB + BC\). При \(BC = AB + AC\) получаем \(AC = BC - AB \leqslant BC \leqslant AB + BC\).
Во всех случаях \(AB + BC \geqslant AC\), то есть \(|\vec{m}| + |\vec{n}| \geqslant |\vec{m} + \vec{n}|\), а это и есть доказываемое неравенство.
Ответ: при любых числах \(a\), \(b\), \(c\), \(a_1\), \(b_1\) и \(c_1\) выполняется неравенство \(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} + \sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \geqslant \sqrt{(a + a_1)^2 + (b + b_1)^2 + (c + c_1)^2}\).
