Страница 28 номер 3.33, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Даны векторы \(\vec{m}(6; -2; z)\), \(\vec{n}(x; 1; 2)\) и \(\vec{k}(3; -4; -7)\). Какое наименьшее значение принимает модуль вектора \(\vec{m} - \vec{n} - \vec{k}\) и при каких значениях \(x\) и \(z\)?
Вектор \(\vec{m} - \vec{n} - \vec{k}\) имеет координаты \((6 - x - 3; -2 - 1 - (-4); z - 2 - (-7))\), то есть \((3 - x; 1; z + 5)\). \[|\vec{m} - \vec{n} - \vec{k}| = \sqrt{(3 - x)^2 + 1^2 + (z + 5)^2}.\]
Слагаемые \((3 - x)^2\) и \((z + 5)^2\) неотрицательны при любых значениях \(x\) и \(z\), поэтому \(|\vec{m} - \vec{n} - \vec{k}| \geqslant \sqrt{1^2} = 1\). Равенство достигается только тогда, когда оба слагаемых равны нулю, то есть при \(x = 3\) и \(z = -5\).
Ответ: наименьшее значение модуля вектора \(\vec{m} - \vec{n} - \vec{k}\) равно 1; оно достигается при \(x = 3\) и \(z = -5\).
Даны векторы \(\vec{m}(6; -2; z)\), \(\vec{n}(x; 1; 2)\) и \(\vec{k}(3; -4; -7)\). Какое наименьшее значение принимает модуль вектора \(\vec{m} - \vec{n} - \vec{k}\) и при каких значениях \(x\) и \(z\)?
Координаты разности векторов равны разностям соответствующих координат, поэтому вектор \(\vec{m} - \vec{n} - \vec{k}\) имеет координаты \((6 - x - 3; -2 - 1 - (-4); z - 2 - (-7))\), то есть \((3 - x; 1; z + 5)\). Модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его координат: \[|\vec{m} - \vec{n} - \vec{k}| = \sqrt{(3 - x)^2 + 1^2 + (z + 5)^2}.\]
Слагаемые \((3 - x)^2\) и \((z + 5)^2\) неотрицательны при любых значениях \(x\) и \(z\), поэтому \(|\vec{m} - \vec{n} - \vec{k}| \geqslant \sqrt{1^2} = 1\). Равенство достигается только тогда, когда оба слагаемых равны нулю, то есть при \(x = 3\) и \(z = -5\).
Ответ: наименьшее значение модуля вектора \(\vec{m} - \vec{n} - \vec{k}\) равно 1; оно достигается при \(x = 3\) и \(z = -5\).
