Страница 28 номер 3.32, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Даны векторы \(\vec{a}(2; -1; 4)\), \(\vec{b}(0; -3; 6)\) и \(\vec{c}(1; y; 5)\). Какое наименьшее значение принимает модуль вектора \(\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}\) и при каком значении \(y\)?
Вектор \(\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}\) имеет координаты \((2 + 0 - 1; -1 + (-3) - y; 4 + 6 - 5)\), то есть \((1; -4 - y; 5)\). \[|\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}| = \sqrt{1^2 + (-4 - y)^2 + 5^2} = \sqrt{(y + 4)^2 + 26}.\]
Выражение \((y + 4)^2\) неотрицательно при любом значении \(y\) и равно нулю только при \(y = -4\). Поэтому \(|\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}| \geqslant \sqrt{26}\), причём равенство достигается только при \(y = -4\).
Ответ: наименьшее значение модуля вектора \(\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}\) равно \(\sqrt{26}\); оно достигается при \(y = -4\).
Даны векторы \(\vec{a}(2; -1; 4)\), \(\vec{b}(0; -3; 6)\) и \(\vec{c}(1; y; 5)\). Какое наименьшее значение принимает модуль вектора \(\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}\) и при каком значении \(y\)?
Координаты суммы и разности векторов равны соответственно суммам и разностям соответствующих координат, поэтому вектор \(\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}\) имеет координаты \((2 + 0 - 1; -1 + (-3) - y; 4 + 6 - 5)\), то есть \((1; -4 - y; 5)\). Модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его координат: \[|\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}| = \sqrt{1^2 + (-4 - y)^2 + 5^2} = \sqrt{(y + 4)^2 + 26}.\]
Выражение \((y + 4)^2\) неотрицательно при любом значении \(y\) и равно нулю только при \(y = -4\). Поэтому \(|\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}| \geqslant \sqrt{26}\), причём равенство достигается только при \(y = -4\).
Ответ: наименьшее значение модуля вектора \(\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}\) равно \(\sqrt{26}\); оно достигается при \(y = -4\).
