Страница 28 номер 3.25, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCA_1B_1C_1\) — правильная призма
\(AB = 4\) см
\(D\) — середина \(AB\)
\(\vec{a} = \overrightarrow{B_1B} - \overrightarrow{DA} - \overrightarrow{A_1C}\)

Найти: \(|\vec{a}|\).

Решение: Боковая грань \(AA_1B_1B\) призмы — параллелограмм, поэтому \(\overrightarrow{B_1B} = \overrightarrow{A_1A}\). По правилу нахождения разности двух векторов, отложенных от одной точки, \(\overrightarrow{A_1A} - \overrightarrow{A_1C} = \overrightarrow{CA}\); вычитание вектора \(\overrightarrow{DA}\) заменим прибавлением противоположного вектора \(\overrightarrow{AD}\). Тогда по правилу треугольника \[\begin{aligned} &\vec{a} = \overrightarrow{B_1B} - \overrightarrow{DA} - \overrightarrow{A_1C} = {} \\ &= (\overrightarrow{A_1A} - \overrightarrow{A_1C}) + \overrightarrow{AD} = {} \\ &= \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CD}. \end{aligned}\]

Значит, \(|\vec{a}| = CD\). В правильном треугольнике \(ABC\) медиана \(CD\) является высотой, а \(AD = \frac{4}{2} = 2\) (см). Из прямоугольного треугольника \(ADC\) по теореме Пифагора \(CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) (см).

Ответ: \(|\vec{a}| = 2\sqrt{3}\) см.