Страница 12 номер 1.13, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Сравните с числом 1 положительное число \(a\), если: 1) \(a^{\frac{5}{6}} > a^{\frac{2}{3}}\); 2) \(a^{\sqrt{3}} < a^{\sqrt{2}}\); 3) \(a^{-0{,}3} > a^{1{,}4}\); 4) \(a^{-\sqrt{7}} < a^{1{,}2}\).
Число \(a\) положительно; при \(a = 1\) обе части каждого неравенства равнялись бы единице, а неравенства строгие, поэтому \(a \ne 1\) и \(y = a^{x}\) — показательная функция: при \(a > 1\) она возрастающая, при \(0 < a < 1\) — убывающая.
1) \(\frac{5}{6} > \frac{2}{3}\): большему показателю отвечает большее значение степени, значит, функция возрастающая и \(a > 1\).
2) \(\sqrt{3} > \sqrt{2}\): большему показателю отвечает меньшее значение степени, значит, функция убывающая и \(0 < a < 1\).
3) \(-0{,}3 < 1{,}4\): меньшему показателю отвечает большее значение степени, значит, функция убывающая и \(0 < a < 1\).
4) \(-\sqrt{7} < 0 < 1{,}2\): меньшему показателю отвечает меньшее значение степени, значит, функция возрастающая и \(a > 1\).
Ответ: 1) \(a > 1\); 2) \(0 < a < 1\); 3) \(0 < a < 1\); 4) \(a > 1\).
Сравните с числом 1 положительное число \(a\), если: 1) \(a^{\frac{5}{6}} > a^{\frac{2}{3}}\); 2) \(a^{\sqrt{3}} < a^{\sqrt{2}}\); 3) \(a^{-0{,}3} > a^{1{,}4}\); 4) \(a^{-\sqrt{7}} < a^{1{,}2}\).
Число \(a\) положительно. При \(a = 1\) обе части каждого неравенства равнялись бы единице, а все неравенства строгие, поэтому \(a \ne 1\) и \(y = a^{x}\) — показательная функция: при \(a > 1\) она возрастающая, при \(0 < a < 1\) — убывающая.
1) Так как \(\frac{5}{6} > \frac{2}{3}\), то у левой части неравенства показатель больше, а значение степени по условию тоже больше. Большему показателю отвечает большее значение степени, значит, функция \(y = a^{x}\) возрастающая и \(a > 1\).
2) Так как \(3 > 2\), то \(\sqrt{3} > \sqrt{2}\): у левой части показатель больше, а значение степени по условию меньше. Большему показателю отвечает меньшее значение степени, значит, функция \(y = a^{x}\) убывающая и \(0 < a < 1\).
3) Так как \(-0{,}3 < 1{,}4\), то у левой части показатель меньше, а значение степени по условию больше. Меньшему показателю отвечает большее значение степени, значит, функция \(y = a^{x}\) убывающая и \(0 < a < 1\).
4) Так как \(-\sqrt{7} < 0 < 1{,}2\), то у левой части показатель меньше, и значение степени по условию тоже меньше. Меньшему показателю отвечает меньшее значение степени, значит, функция \(y = a^{x}\) возрастающая и \(a > 1\).
Ответ: 1) \(a > 1\); 2) \(0 < a < 1\); 3) \(0 < a < 1\); 4) \(a > 1\).
