Страница 13 номер 1.21, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
На каком промежутке наибольшее значение функции \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}\) равно 27, а наименьшее — \(\frac{1}{9}\)?
Основание \(\frac{1}{3} < 1\), функция \(f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}\) убывающая. Наибольшее и наименьшее значения возможны только на отрезке: в невключённом конце значение не принимается. Значит, промежуток — отрезок \([p;\ q]\), причём \(f(p) = \left(\frac{1}{3}\right)^{p} = 27\) и \(f(q) = \left(\frac{1}{3}\right)^{q} = \frac{1}{9}\).
\(\left(\frac{1}{3}\right)^{-3} = 3^{3} = 27\), \(\left(\frac{1}{3}\right)^{2} = \frac{1}{9}\), а каждое своё значение убывающая функция принимает не более одного раза, поэтому \(p = -3\) и \(q = 2\).
Ответ: \([-3;\ 2]\).
На каком промежутке наибольшее значение функции \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}\) равно 27, а наименьшее — \(\frac{1}{9}\)?
Основание \(\frac{1}{3}\) меньше единицы, поэтому функция \(f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}\) убывающая. Наименьшее и наибольшее значения она принимает только на отрезке: на промежутке с невключённым концом значение в этом конце не принимается. Значит, искомый промежуток — отрезок \([p;\ q]\), причём наибольшее значение функция принимает при \(x = p\), а наименьшее — при \(x = q\): \[f(p) = \left(\frac{1}{3}\right)^{p} = 27, \qquad f(q) = \left(\frac{1}{3}\right)^{q} = \frac{1}{9}.\] Так как \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-3} = 3^{3} = 27\) и \(\left(\frac{1}{3}\right)^{2} = \frac{1}{9}\), а убывающая функция каждое своё значение принимает не более одного раза, то \(p = -3\) и \(q = 2\).
Ответ: \([-3;\ 2]\).
