Страница 14 номер 1.26, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
График какой из функций, изображённых на рисунке 1.6, пересекает график функции \(y = 5^{x}\) более чем в одной точке?
Формулы прямых находим по точкам пересечения с осями: а) через \((0;\ 5)\) и \((5;\ 0)\) — \(y = 5 - x\); б) через \((-5;\ 0)\) и \((0;\ 5)\) — \(y = x + 5\); в) через \((-5;\ 0)\) и \((0;\ -5)\) — \(y = -x - 5\). Построим их и график функции \(y = 5^{x}\).
Прямые \(y = 5 - x\) и \(y = -x - 5\) задают убывающие функции, а функция \(y = 5^{x}\) возрастающая: возрастающая и убывающая функции имеют не более одной общей точки, поэтому варианты а) и в) отпадают.
У прямой \(y = x + 5\) с кривой \(y = 5^{x}\) две общие точки: при \(x = -5\) кривая выше прямой (\(5^{-5} > 0\), а \(-5 + 5 = 0\)), при \(x = -4\) ниже (\(5^{-4} < 1\), а \(-4 + 5 = 1\)) — пересечение между \(-5\) и \(-4\); при \(x = 1\) кривая ниже прямой (\(5^{1} = 5\), а \(1 + 5 = 6\)), при \(x = 2\) выше (\(5^{2} = 25\), а \(2 + 5 = 7\)) — ещё одно пересечение между 1 и 2.
Ответ: вариант б) — прямая \(y = x + 5\).
График какой из функций, изображённых на рисунке 1.6, пересекает график функции \(y = 5^{x}\) более чем в одной точке?
Каждый из трёх вариантов задаёт линейную функцию, и её формулу находим по двум точкам пересечения прямой с осями координат: а) прямая проходит через точки \((0;\ 5)\) и \((5;\ 0)\), это прямая \(y = 5 - x\); б) прямая проходит через точки \((-5;\ 0)\) и \((0;\ 5)\), это прямая \(y = x + 5\); в) прямая проходит через точки \((-5;\ 0)\) и \((0;\ -5)\), это прямая \(y = -x - 5\). Построим все три прямые и график функции \(y = 5^{x}\) в одной системе координат.
Прямые \(y = 5 - x\) и \(y = -x - 5\) задают убывающие функции, а функция \(y = 5^{x}\) возрастающая. Возрастающая и убывающая функции имеют не более одной общей точки, поэтому прямые вариантов а) и в) пересекают кривую \(y = 5^{x}\) не более чем в одной точке.
Прямая \(y = x + 5\) имеет с кривой \(y = 5^{x}\) две общие точки. При \(x = -5\) кривая выше прямой, так как \(5^{-5} > 0\), а \(-5 + 5 = 0\); при \(x = -4\) кривая ниже прямой, так как \(5^{-4} < 1\), а \(-4 + 5 = 1\). Значит, между \(-5\) и \(-4\) графики пересекаются. При \(x = 1\) кривая ниже прямой (\(5^{1} = 5\), а \(1 + 5 = 6\)), при \(x = 2\) — выше (\(5^{2} = 25\), а \(2 + 5 = 7\)), значит, между 1 и 2 есть ещё одна общая точка.
Ответ: вариант б) — прямая \(y = x + 5\).
