Страница 13 номер 1.17, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) Основание \(0{,}2 < 1\), функция \(f(x) = 0{,}2^{x}\) убывающая: на отрезке \([-1;\ 2]\) наибольшее значение \(f(-1) = 0{,}2^{-1} = \frac{1}{0{,}2} = 5\). Утверждение верно.
2) Показательная функция \(y = 7^{x}\) определена при всех действительных \(x\), поэтому и выражение \(4 - 7^{x}\) имеет смысл при любом \(x\): область определения — множество \(\mathbf{R}\). Утверждение верно.
3) Область значений функции \(y = 6^{x}\) — промежуток \((0;\ +\infty)\), поэтому \(6^{x} + 5 > 5\) при любом \(x\), причём значение 5 не принимается: область значений — \((5;\ +\infty)\), а не \([5;\ +\infty)\). Утверждение неверно.
4) Основание \(\frac{1}{4} < 1\), функция \(f(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^{x}\) убывающая: на отрезке \([-2;\ 2]\) наименьшее значение \(f(2) = \left(\frac{1}{4}\right)^{2} = \frac{1}{16}\), наибольшее \(f(-2) = \left(\frac{1}{4}\right)^{-2} = 16\). Число 16 — наибольшее значение, а не наименьшее. Утверждение неверно.
Ответ: 1) да; 2) да; 3) нет, область значений — промежуток \((5;\ +\infty)\); 4) нет, наименьшее значение равно \(\frac{1}{16}\).
1) Основание \(0{,}2\) меньше единицы, поэтому функция \(f(x) = 0{,}2^{x}\) убывающая и на отрезке \([-1;\ 2]\) наибольшее значение она принимает при \(x = -1\): \[\max\limits_{[-1;\ 2]} f(x) = f(-1) = 0{,}2^{-1} = \frac{1}{0{,}2} = 5.\] Утверждение верно.
2) Показательная функция \(y = 7^{x}\) определена при всех действительных значениях \(x\), поэтому и выражение \(4 - 7^{x}\) имеет смысл при любом действительном \(x\). Областью определения функции \(y = 4 - 7^{x}\) служит множество \(\mathbf{R}\). Утверждение верно.
3) Областью значений показательной функции \(y = 6^{x}\) является промежуток \((0;\ +\infty)\), поэтому \(6^{x} + 5 > 5\) при любом \(x\), причём значение 5 не принимается ни при каком \(x\). Область значений функции \(y = 6^{x} + 5\) — промежуток \((5;\ +\infty)\), а не \([5;\ +\infty)\). Утверждение неверно.
4) Основание \(\frac{1}{4}\) меньше единицы, поэтому функция \(f(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^{x}\) убывающая: на отрезке \([-2;\ 2]\) наименьшее значение она принимает при \(x = 2\), а наибольшее — при \(x = -2\). Следовательно, \[\begin{aligned} &\min\limits_{[-2;\ 2]} f(x) = f(2) = \left(\frac{1}{4}\right)^{2} = \frac{1}{16}, \\ &\max\limits_{[-2;\ 2]} f(x) = f(-2) = \left(\frac{1}{4}\right)^{-2} = 16. \end{aligned}\] Число 16 — это наибольшее значение функции на отрезке, а наименьшее равно \(\frac{1}{16}\). Утверждение неверно.
Ответ: 1) да; 2) да; 3) нет, область значений — промежуток \((5;\ +\infty)\); 4) нет, наименьшее значение равно \(\frac{1}{16}\).
