Страница 11 номер 1.4, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. §1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Страница 11. Номер 1.4

Решение:

1) Основание \(\frac{1}{2} < 1\), показатель \(\sqrt{2}\) положителен, поэтому \(\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{2}} < 1\).

2) Так как \(\pi > 3\), то \(\frac{\pi}{3} > 1\). Основание больше единицы, показатель \(\pi\) положителен, поэтому \(\left(\frac{\pi}{3}\right)^{\pi} > 1\).

3) Основание \(0{,}6 < 1\), показатель \(2\sqrt{5}\) положителен, поэтому \(0{,}6^{2\sqrt{5}} < 1\).

4) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-\sqrt{3}} = 3^{\sqrt{3}}\); основание \(3 > 1\), показатель \(\sqrt{3}\) положителен, поэтому \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-\sqrt{3}} > 1\).

5) Основание \(\frac{4}{5} < 1\), показатель \(\pi\) положителен, поэтому \(\left(\frac{4}{5}\right)^{\pi} < 1\).

6) Так как \(\pi > 3\), то \(\pi + 1 > 4\) и \(\frac{\pi + 1}{4} > 1\). Далее \(\left(\frac{\pi + 1}{4}\right)^{-\sqrt{6}} = \left(\frac{4}{\pi + 1}\right)^{\sqrt{6}}\); основание \(\frac{4}{\pi + 1} < 1\), показатель \(\sqrt{6}\) положителен, поэтому \(\left(\frac{\pi + 1}{4}\right)^{-\sqrt{6}} < 1\).

Ответ: 1) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{2}} < 1\); 2) \(\left(\frac{\pi}{3}\right)^{\pi} > 1\); 3) \(0{,}6^{2\sqrt{5}} < 1\); 4) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-\sqrt{3}} > 1\); 5) \(\left(\frac{4}{5}\right)^{\pi} < 1\); 6) \(\left(\frac{\pi + 1}{4}\right)^{-\sqrt{6}} < 1\).

Решение:

1) Основание \(\frac{1}{2}\) меньше единицы, а показатель \(\sqrt{2}\) положителен, поэтому \(0 < \left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{2}} < 1\), то есть \(\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{2}} < 1\).

2) Так как \(\pi > 3\), то \(\frac{\pi}{3} > 1\). Основание больше единицы, а показатель \(\pi\) положителен, поэтому \(\left(\frac{\pi}{3}\right)^{\pi} > 1\).

3) Основание \(0{,}6\) меньше единицы, а показатель \(2\sqrt{5}\) положителен, поэтому \(0{,}6^{2\sqrt{5}} < 1\).

4) Показатель степени отрицателен, поэтому запишем степень с положительным показателем: \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-\sqrt{3}} = 3^{\sqrt{3}}\). Основание 3 больше единицы, а показатель \(\sqrt{3}\) положителен, поэтому \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-\sqrt{3}} > 1\).

5) Основание \(\frac{4}{5}\) меньше единицы, а показатель \(\pi\) положителен, поэтому \(\left(\frac{4}{5}\right)^{\pi} < 1\).

6) Так как \(\pi > 3\), то \(\pi + 1 > 4\), а значит, \(\frac{\pi + 1}{4} > 1\). Показатель степени отрицателен, поэтому запишем степень с положительным показателем: \(\left(\frac{\pi + 1}{4}\right)^{-\sqrt{6}} = \left(\frac{4}{\pi + 1}\right)^{\sqrt{6}}\). Основание \(\frac{4}{\pi + 1}\) меньше единицы, а показатель \(\sqrt{6}\) положителен, поэтому \(\left(\frac{\pi + 1}{4}\right)^{-\sqrt{6}} < 1\).