Страница 13 номер 1.18, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите область значений функции: 1) \(y = -9^{x}\); 2) \(y = \left(\frac{1}{5}\right)^{x} + 1\); 3) \(y = 7^{x} - 4\); 4) \(y = 6^{|x|}\).
1) Степень \(9^{x}\) принимает все значения из \((0;\ +\infty)\) и только их, поэтому \(-9^{x}\) — все значения из \((-\infty;\ 0)\).
2) Степень \(\left(\frac{1}{5}\right)^{x}\) принимает все значения из \((0;\ +\infty)\), поэтому \(\left(\frac{1}{5}\right)^{x} + 1\) — из \((1;\ +\infty)\).
3) Степень \(7^{x}\) принимает все значения из \((0;\ +\infty)\), поэтому \(7^{x} - 4\) — из \((-4;\ +\infty)\).
4) Показатель \(|x|\) принимает все значения из \([0;\ +\infty)\) и только их. Основание \(6 > 1\), функция возрастающая, поэтому из \(|x| \geqslant 0\) следует \(6^{|x|} \geqslant 6^{0} = 1\), причём значение 1 принимается при \(x = 0\). Каждое число \(b > 1\) тоже является значением: для него найдётся такое \(t > 0\), что \(6^{t} = b\), и достаточно взять \(x = t\). Область значений — \([1;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ 0)\); 2) \((1;\ +\infty)\); 3) \((-4;\ +\infty)\); 4) \([1;\ +\infty)\).
Найдите область значений функции: 1) \(y = -9^{x}\); 2) \(y = \left(\frac{1}{5}\right)^{x} + 1\); 3) \(y = 7^{x} - 4\); 4) \(y = 6^{|x|}\).
1) Показательная функция \(y = 9^{x}\) принимает все значения из промежутка \((0;\ +\infty)\) и только их, поэтому выражение \(-9^{x}\) принимает все значения из промежутка \((-\infty;\ 0)\).
2) Показательная функция \(y = \left(\frac{1}{5}\right)^{x}\) принимает все значения из промежутка \((0;\ +\infty)\), поэтому сумма \(\left(\frac{1}{5}\right)^{x} + 1\) принимает все значения из промежутка \((1;\ +\infty)\).
3) Показательная функция \(y = 7^{x}\) принимает все значения из промежутка \((0;\ +\infty)\), поэтому разность \(7^{x} - 4\) принимает все значения из промежутка \((-4;\ +\infty)\).
4) Показатель \(|x|\) принимает все значения из промежутка \([0;\ +\infty)\) и только их. Основание 6 больше единицы, поэтому показательная функция возрастающая, и из неравенства \(|x| \geqslant 0\) следует, что \(6^{|x|} \geqslant 6^{0} = 1\), причём значение 1 принимается при \(x = 0\). Каждое число \(b > 1\) тоже является значением функции: для него найдётся такое \(t > 0\), что \(6^{t} = b\), и достаточно взять \(x = t\). Область значений — промежуток \([1;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ 0)\); 2) \((1;\ +\infty)\); 3) \((-4;\ +\infty)\); 4) \([1;\ +\infty)\).
