Страница 11 номер 1.1, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

1) При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются, а \((\sqrt{2} + 1)^{2} = 3 + 2\sqrt{2}\), поэтому \[\begin{aligned} &3^{(\sqrt{2} + 1)^{2}} : 3^{2\sqrt{2}} = 3^{(\sqrt{2} + 1)^{2} - 2\sqrt{2}} = {} \\ &= 3^{3 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}} = 3^{3} = 27. \end{aligned}\]

2) При возведении степени в степень показатели перемножаются, а \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3\), поэтому \[\begin{aligned} &\left((3\sqrt[3]{7})^{\sqrt{3}}\right)^{\sqrt{3}} = (3\sqrt[3]{7})^{3} = {} \\ &= 3^{3} \cdot \left(\sqrt[3]{7}\right)^{3} = 27 \cdot 7 = 189. \end{aligned}\]

3) Приведём обе степени под корнем к основанию 6: \(36^{-\sqrt{5}} = 6^{-2\sqrt{5}}\), а \((\sqrt{5} + 1)^{2} = 6 + 2\sqrt{5}\). Тогда \[\begin{aligned} &\sqrt[3]{6^{(\sqrt{5} + 1)^{2}} \cdot 36^{-\sqrt{5}}} = \sqrt[3]{6^{6 + 2\sqrt{5}} \cdot 6^{-2\sqrt{5}}} = {} \\ &= \sqrt[3]{6^{6}} = 6^{2} = 36. \end{aligned}\]

4) Показатели перемножаются, и минус при этом сохраняется: \(\sqrt{2} \cdot \left(-\sqrt{8}\right) = -\sqrt{16} = -4\). Тогда \[\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{2}}\right)^{-\sqrt{8}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-4} = 2^{4} = 16.\]

Ответ: 1) 27; 2) 189; 3) 36; 4) 16.