Страница 13 номер 1.20, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
На каком промежутке наибольшее значение функции \(y = 2^{x}\) равно 16, а наименьшее — \(\frac{1}{4}\)?
Основание \(2 > 1\), функция \(f(x) = 2^{x}\) возрастающая. Наибольшее и наименьшее значения возможны только на отрезке: в невключённом конце значение не принимается. Значит, промежуток — отрезок \([p;\ q]\), причём \(f(p) = 2^{p} = \frac{1}{4}\) и \(f(q) = 2^{q} = 16\).
\(2^{-2} = \frac{1}{4}\), \(2^{4} = 16\), а каждое своё значение возрастающая функция принимает не более одного раза, поэтому \(p = -2\) и \(q = 4\).
Ответ: \([-2;\ 4]\).
На каком промежутке наибольшее значение функции \(y = 2^{x}\) равно 16, а наименьшее — \(\frac{1}{4}\)?
Основание 2 больше единицы, поэтому функция \(f(x) = 2^{x}\) возрастающая. Возрастающая функция принимает наименьшее и наибольшее значения только на отрезке: на промежутке с невключённым концом значение в этом конце не принимается. Значит, искомый промежуток — отрезок \([p;\ q]\), причём наименьшее значение функция принимает при \(x = p\), а наибольшее — при \(x = q\): \[f(p) = 2^{p} = \frac{1}{4}, \qquad f(q) = 2^{q} = 16.\] Так как \(2^{-2} = \frac{1}{4}\) и \(2^{4} = 16\), а возрастающая функция каждое своё значение принимает не более одного раза, то \(p = -2\) и \(q = 4\).
Ответ: \([-2;\ 4]\).
