Страница 12 номер 1.15, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) Выражение имеет смысл при \(a > 0\). \[\begin{aligned} &\left(a^{\sqrt{5}} + 2\right)\left(a^{\sqrt{5}} - 2\right) - \left(a^{\sqrt{5}} + 3\right)^{2} = {} \\ &= a^{2\sqrt{5}} - 4 - \left(a^{2\sqrt{5}} + 6a^{\sqrt{5}} + 9\right) = -6a^{\sqrt{5}} - 13. \end{aligned}\]
2) Выражение имеет смысл при \(a > 0\) и \(a \ne 1\). \[\begin{aligned} &\frac{a^{2\sqrt{7}} - a^{\sqrt{7}}}{a^{4\sqrt{7}} - a^{3\sqrt{7}}} = \frac{a^{\sqrt{7}}\left(a^{\sqrt{7}} - 1\right)}{a^{3\sqrt{7}}\left(a^{\sqrt{7}} - 1\right)} = {} \\ &= \frac{a^{\sqrt{7}}}{a^{3\sqrt{7}}} = a^{-2\sqrt{7}} = \frac{1}{a^{2\sqrt{7}}}. \end{aligned}\]
3) Выражение имеет смысл при \(a > 0\) и \(b > 0\); знаменатель при этом положителен. \[\begin{aligned} &\frac{a^{2\sqrt{3}} - b^{2\sqrt{2}}}{\left(a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}\right)^{2}} + 1 = \frac{\left(a^{\sqrt{3}} - b^{\sqrt{2}}\right)\left(a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}\right)}{\left(a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}\right)^{2}} + 1 = {} \\ &= \frac{a^{\sqrt{3}} - b^{\sqrt{2}}}{a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}} + 1 = \frac{a^{\sqrt{3}} - b^{\sqrt{2}} + a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}}{a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}} = {} \\ &= \frac{2a^{\sqrt{3}}}{a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}}. \end{aligned}\]
4) Выражение имеет смысл при \(a > 0\) и \(a \ne 1\). Так как \(\sqrt[3]{24} = 2\sqrt[3]{3}\) и \(\sqrt[3]{81} = 3\sqrt[3]{3}\), то \(a^{\sqrt[3]{24}} = \left(a^{\sqrt[3]{3}}\right)^{2}\), \(a^{\sqrt[3]{81}} = \left(a^{\sqrt[3]{3}}\right)^{3}\) и \[\begin{aligned} &\frac{a^{\sqrt[3]{24}} - 1}{a^{\sqrt[3]{3}} - 1} = \frac{\left(a^{\sqrt[3]{3}}\right)^{2} - 1}{a^{\sqrt[3]{3}} - 1} = a^{\sqrt[3]{3}} + 1, \\ &\frac{a^{\sqrt[3]{81}} + 1}{a^{\sqrt[3]{3}} + 1} = \frac{\left(a^{\sqrt[3]{3}}\right)^{3} + 1}{a^{\sqrt[3]{3}} + 1} = a^{2\sqrt[3]{3}} - a^{\sqrt[3]{3}} + 1. \end{aligned}\]
Их разность равна \[\begin{aligned} &\left(a^{\sqrt[3]{3}} + 1\right) - \left(a^{2\sqrt[3]{3}} - a^{\sqrt[3]{3}} + 1\right) = {} \\ &= 2a^{\sqrt[3]{3}} - a^{2\sqrt[3]{3}}. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(-6a^{\sqrt{5}} - 13\); 2) \(\frac{1}{a^{2\sqrt{7}}}\); 3) \(\frac{2a^{\sqrt{3}}}{a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}}\); 4) \(2a^{\sqrt[3]{3}} - a^{2\sqrt[3]{3}}\).
1) Выражение имеет смысл при \(a > 0\). Степень \(a^{\sqrt{5}}\) играет роль одной буквы, поэтому применимы формулы разности квадратов и квадрата суммы: \[\begin{aligned} &\left(a^{\sqrt{5}} + 2\right)\left(a^{\sqrt{5}} - 2\right) - \left(a^{\sqrt{5}} + 3\right)^{2} = {} \\ &= a^{2\sqrt{5}} - 4 - \left(a^{2\sqrt{5}} + 6a^{\sqrt{5}} + 9\right) = -6a^{\sqrt{5}} - 13. \end{aligned}\]
2) Выражение имеет смысл при \(a > 0\) и \(a \ne 1\). Вынесем в числителе и в знаменателе общий множитель с наименьшим показателем: \[\begin{aligned} &\frac{a^{2\sqrt{7}} - a^{\sqrt{7}}}{a^{4\sqrt{7}} - a^{3\sqrt{7}}} = \frac{a^{\sqrt{7}}\left(a^{\sqrt{7}} - 1\right)}{a^{3\sqrt{7}}\left(a^{\sqrt{7}} - 1\right)} = {} \\ &= \frac{a^{\sqrt{7}}}{a^{3\sqrt{7}}} = a^{-2\sqrt{7}} = \frac{1}{a^{2\sqrt{7}}}. \end{aligned}\]
3) Выражение имеет смысл при \(a > 0\) и \(b > 0\); знаменатель при этом положителен. Числитель разложим по формуле разности квадратов, учитывая, что \(a^{2\sqrt{3}} = \left(a^{\sqrt{3}}\right)^{2}\) и \(b^{2\sqrt{2}} = \left(b^{\sqrt{2}}\right)^{2}\): \[\begin{aligned} &\frac{a^{2\sqrt{3}} - b^{2\sqrt{2}}}{\left(a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}\right)^{2}} + 1 = \frac{\left(a^{\sqrt{3}} - b^{\sqrt{2}}\right)\left(a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}\right)}{\left(a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}\right)^{2}} + 1 = {} \\ &= \frac{a^{\sqrt{3}} - b^{\sqrt{2}}}{a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}} + 1 = \frac{a^{\sqrt{3}} - b^{\sqrt{2}} + a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}}{a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}} = {} \\ &= \frac{2a^{\sqrt{3}}}{a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}}. \end{aligned}\]
4) Выражение имеет смысл при \(a > 0\) и \(a \ne 1\). Запишем показатели через \(\sqrt[3]{3}\): \(\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = 2\sqrt[3]{3}\), \(\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{27 \cdot 3} = 3\sqrt[3]{3}\). Тогда \(a^{\sqrt[3]{24}} = \left(a^{\sqrt[3]{3}}\right)^{2}\), \(a^{\sqrt[3]{81}} = \left(a^{\sqrt[3]{3}}\right)^{3}\), и первая дробь сокращается по формуле разности квадратов, а вторая — по формуле суммы кубов: \[\begin{aligned} &\frac{a^{\sqrt[3]{24}} - 1}{a^{\sqrt[3]{3}} - 1} = \frac{\left(a^{\sqrt[3]{3}}\right)^{2} - 1}{a^{\sqrt[3]{3}} - 1} = a^{\sqrt[3]{3}} + 1, \\ &\frac{a^{\sqrt[3]{81}} + 1}{a^{\sqrt[3]{3}} + 1} = \frac{\left(a^{\sqrt[3]{3}}\right)^{3} + 1}{a^{\sqrt[3]{3}} + 1} = a^{2\sqrt[3]{3}} - a^{\sqrt[3]{3}} + 1. \end{aligned}\] Разность полученных выражений равна \[\begin{aligned} &\left(a^{\sqrt[3]{3}} + 1\right) - \left(a^{2\sqrt[3]{3}} - a^{\sqrt[3]{3}} + 1\right) = {} \\ &= 2a^{\sqrt[3]{3}} - a^{2\sqrt[3]{3}}. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(-6a^{\sqrt{5}} - 13\); 2) \(\frac{1}{a^{2\sqrt{7}}}\); 3) \(\frac{2a^{\sqrt{3}}}{a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}}\); 4) \(2a^{\sqrt[3]{3}} - a^{2\sqrt[3]{3}}\).
