Страница 12 номер 1.8, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. §1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Страница 12. Номер 1.8

Решение:

1) Основание \(10 > 1\), поэтому функция \(y = 10^{x}\) возрастающая.

2) Основание \(\frac{5}{9} < 1\), поэтому функция \(y = \left(\frac{5}{9}\right)^{x}\) убывающая.

3) \(2^{-x} = \left(2^{-1}\right)^{x} = \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\); основание \(\frac{1}{2} < 1\), поэтому функция \(y = 2^{-x}\) убывающая.

4) \(\left(\frac{1}{5}\right)^{-x} = \left(\left(\frac{1}{5}\right)^{-1}\right)^{x} = 5^{x}\); основание \(5 > 1\), поэтому функция \(y = \left(\frac{1}{5}\right)^{-x}\) возрастающая.

5) \(2^{x} \cdot 3^{x} = (2 \cdot 3)^{x} = 6^{x}\); основание \(6 > 1\), поэтому функция \(y = 2^{x} \cdot 3^{x}\) возрастающая.

6) \(12^{x} \cdot \left(\frac{1}{18}\right)^{x} = \left(12 \cdot \frac{1}{18}\right)^{x} = \left(\frac{2}{3}\right)^{x}\); основание \(\frac{2}{3} < 1\), поэтому функция \(y = 12^{x} \cdot \left(\frac{1}{18}\right)^{x}\) убывающая.

Ответ: возрастающие — функции 1) \(y = 10^{x}\), 4) \(y = \left(\frac{1}{5}\right)^{-x}\), 5) \(y = 2^{x} \cdot 3^{x}\); убывающие — функции 2) \(y = \left(\frac{5}{9}\right)^{x}\), 3) \(y = 2^{-x}\), 6) \(y = 12^{x} \cdot \left(\frac{1}{18}\right)^{x}\).

Решение:

1) Основание 10 больше единицы, поэтому функция \(y = 10^{x}\) возрастающая.

2) Основание \(\frac{5}{9}\) меньше единицы, поэтому функция \(y = \left(\frac{5}{9}\right)^{x}\) убывающая.

3) Запишем функцию со степенью, показатель которой равен \(x\): \(2^{-x} = \left(2^{-1}\right)^{x} = \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\). Основание \(\frac{1}{2}\) меньше единицы, поэтому функция \(y = 2^{-x}\) убывающая.

4) Аналогично \(\left(\frac{1}{5}\right)^{-x} = \left(\left(\frac{1}{5}\right)^{-1}\right)^{x} = 5^{x}\). Основание 5 больше единицы, поэтому функция \(y = \left(\frac{1}{5}\right)^{-x}\) возрастающая.

5) Свернём произведение в одну степень: \(2^{x} \cdot 3^{x} = (2 \cdot 3)^{x} = 6^{x}\). Основание 6 больше единицы, поэтому функция \(y = 2^{x} \cdot 3^{x}\) возрастающая.

6) Так же свернём произведение в одну степень: \(12^{x} \cdot \left(\frac{1}{18}\right)^{x} = \left(12 \cdot \frac{1}{18}\right)^{x} = \left(\frac{2}{3}\right)^{x}\). Основание \(\frac{2}{3}\) меньше единицы, поэтому функция \(y = 12^{x} \cdot \left(\frac{1}{18}\right)^{x}\) убывающая.