Страница 13 номер 1.25, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Постройте график функции: 1) \(y = 3^{x} + 1\); 2) \(y = 3^{x + 1}\); 3) \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x} - 2\); 4) \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x - 2}\); 5) \(y = -\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\); 6) \(y = -3^{x} - 1\).
1) \(y = 3^{x} + 1\): график \(y = 3^{x}\) перенесён на 1 единицу вверх. Асимптота \(y = 0\) переходит в прямую \(y = 1\), точка \((0;\ 1)\) — в \((0;\ 2)\). Основание \(3 > 1\), функция возрастающая.
2) \(y = 3^{x + 1}\): график \(y = 3^{x}\) перенесён на 1 единицу влево. Асимптота — ось \(x\), точка \((0;\ 1)\) переходит в \((-1;\ 1)\), ось ординат график пересекает в точке \((0;\ 3)\). Функция возрастающая.
3) \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x} - 2\): график \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}\) перенесён на 2 единицы вниз. Асимптота \(y = 0\) переходит в прямую \(y = -2\), точка \((0;\ 1)\) — в \((0;\ -1)\). Основание \(\frac{1}{3} < 1\), функция убывающая.
4) \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x - 2}\): график \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}\) перенесён на 2 единицы вправо. Асимптота — ось \(x\), точка \((0;\ 1)\) переходит в \((2;\ 1)\), ось ординат график пересекает в точке \((0;\ 9)\). Функция убывающая.
5) \(y = -\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\): график симметричен графику \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}\) относительно оси \(x\), точка \((x_{0};\ y_{0})\) переходит в \((x_{0};\ -y_{0})\). Асимптота — ось \(x\), точка \((0;\ 1)\) переходит в \((0;\ -1)\). Все значения отрицательны, функция возрастающая.
6) \(y = -3^{x} - 1\): график получается из графика \(y = 3^{x}\) симметрией относительно оси \(x\) и переносом на 1 единицу вниз. Асимптота \(y = 0\) переходит в прямую \(y = -1\), точка \((0;\ 1)\) — в \((0;\ -2)\). Функция убывающая, весь график лежит ниже прямой \(y = -1\).
Постройте график функции: 1) \(y = 3^{x} + 1\); 2) \(y = 3^{x + 1}\); 3) \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x} - 2\); 4) \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x - 2}\); 5) \(y = -\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\); 6) \(y = -3^{x} - 1\).
1) График функции \(y = 3^{x} + 1\) получается из графика функции \(y = 3^{x}\) параллельным переносом на 1 единицу вверх. Горизонтальная асимптота \(y = 0\) переходит при этом в прямую \(y = 1\), точка \((0;\ 1)\) — в точку \((0;\ 2)\). Основание 3 больше единицы, поэтому функция возрастающая.
2) График функции \(y = 3^{x + 1}\) получается из графика функции \(y = 3^{x}\) параллельным переносом на 1 единицу влево. Асимптотой остаётся ось \(x\), точка \((0;\ 1)\) переходит в точку \((-1;\ 1)\), а график пересекает ось \(y\) в точке \((0;\ 3)\). Функция возрастающая.
3) График функции \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x} - 2\) получается из графика функции \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}\) параллельным переносом на 2 единицы вниз. Горизонтальная асимптота \(y = 0\) переходит при этом в прямую \(y = -2\), точка \((0;\ 1)\) — в точку \((0;\ -1)\). Основание \(\frac{1}{3}\) меньше единицы, поэтому функция убывающая.
4) График функции \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x - 2}\) получается из графика функции \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}\) параллельным переносом на 2 единицы вправо. Асимптотой остаётся ось \(x\), точка \((0;\ 1)\) переходит в точку \((2;\ 1)\), а график пересекает ось \(y\) в точке \((0;\ 9)\). Функция убывающая.
5) График функции \(y = -\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\) симметричен графику функции \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}\) относительно оси \(x\): каждая точка \((x_{0};\ y_{0})\) переходит в точку \((x_{0};\ -y_{0})\). Асимптотой остаётся ось \(x\), точка \((0;\ 1)\) переходит в точку \((0;\ -1)\). Все значения функции отрицательны, и функция возрастающая.
6) График функции \(y = -3^{x} - 1\) получается из графика функции \(y = 3^{x}\) симметрией относительно оси \(x\) и последующим параллельным переносом на 1 единицу вниз. Горизонтальная асимптота \(y = 0\) переходит при этом в прямую \(y = -1\), точка \((0;\ 1)\) — в точку \((0;\ -2)\). Функция убывающая, и весь её график лежит ниже прямой \(y = -1\).
