Страница 13 номер 1.16, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Упростите выражение: 1) \(\frac{(a^{2\sqrt{6}} - 1)(a^{\sqrt{6}} + a^{2\sqrt{6}} + a^{3\sqrt{6}})}{a^{4\sqrt{6}} - a^{\sqrt{6}}}\); 2) \(\left((a^{\pi} + b^{\pi})^{2} - (a^{\pi} - b^{\pi})^{2}\right)^{\frac{1}{\pi}}\).
1) Выражение имеет смысл при \(a > 0\) и \(a \ne 1\). \[\begin{aligned} &a^{\sqrt{6}} + a^{2\sqrt{6}} + a^{3\sqrt{6}} = a^{\sqrt{6}}\left(1 + a^{\sqrt{6}} + a^{2\sqrt{6}}\right), \\ &a^{4\sqrt{6}} - a^{\sqrt{6}} = a^{\sqrt{6}}\left(a^{3\sqrt{6}} - 1\right), \\ &a^{2\sqrt{6}} - 1 = \left(a^{\sqrt{6}} - 1\right)\left(a^{\sqrt{6}} + 1\right), \\ &a^{3\sqrt{6}} - 1 = \left(a^{\sqrt{6}} - 1\right)\left(a^{2\sqrt{6}} + a^{\sqrt{6}} + 1\right). \end{aligned}\] \[\begin{aligned} &\frac{\left(a^{2\sqrt{6}} - 1\right)\left(a^{\sqrt{6}} + a^{2\sqrt{6}} + a^{3\sqrt{6}}\right)}{a^{4\sqrt{6}} - a^{\sqrt{6}}} = {} \\ &= \frac{\left(a^{\sqrt{6}} - 1\right)\left(a^{\sqrt{6}} + 1\right) \cdot a^{\sqrt{6}}\left(1 + a^{\sqrt{6}} + a^{2\sqrt{6}}\right)}{a^{\sqrt{6}}\left(a^{\sqrt{6}} - 1\right)\left(a^{2\sqrt{6}} + a^{\sqrt{6}} + 1\right)} = {} \\ &= a^{\sqrt{6}} + 1. \end{aligned}\]
2) Показатель \(\pi\) иррационален, а степень с иррациональным показателем определена только для положительного основания, поэтому \(a > 0\) и \(b > 0\). \[\left(a^{\pi} + b^{\pi}\right)^{2} - \left(a^{\pi} - b^{\pi}\right)^{2} = 4a^{\pi}b^{\pi}.\] \[\begin{aligned} &\left(4a^{\pi}b^{\pi}\right)^{\frac{1}{\pi}} = 4^{\frac{1}{\pi}}\left(a^{\pi}\right)^{\frac{1}{\pi}}\left(b^{\pi}\right)^{\frac{1}{\pi}} = {} \\ &= 4^{\frac{1}{\pi}}a^{\pi \cdot \frac{1}{\pi}}b^{\pi \cdot \frac{1}{\pi}} = 4^{\frac{1}{\pi}}ab. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(a^{\sqrt{6}} + 1\); 2) \(4^{\frac{1}{\pi}}ab\).
Упростите выражение: 1) \(\frac{(a^{2\sqrt{6}} - 1)(a^{\sqrt{6}} + a^{2\sqrt{6}} + a^{3\sqrt{6}})}{a^{4\sqrt{6}} - a^{\sqrt{6}}}\); 2) \(\left((a^{\pi} + b^{\pi})^{2} - (a^{\pi} - b^{\pi})^{2}\right)^{\frac{1}{\pi}}\).
1) Выражение имеет смысл при \(a > 0\) и \(a \ne 1\). Вынесем во второй скобке числителя и в знаменателе общий множитель \(a^{\sqrt{6}}\): \[\begin{aligned} &a^{\sqrt{6}} + a^{2\sqrt{6}} + a^{3\sqrt{6}} = a^{\sqrt{6}}\left(1 + a^{\sqrt{6}} + a^{2\sqrt{6}}\right), \\ &a^{4\sqrt{6}} - a^{\sqrt{6}} = a^{\sqrt{6}}\left(a^{3\sqrt{6}} - 1\right). \end{aligned}\] По формуле разности квадратов \(a^{2\sqrt{6}} - 1 = \left(a^{\sqrt{6}} - 1\right)\left(a^{\sqrt{6}} + 1\right)\), а по формуле разности кубов \(a^{3\sqrt{6}} - 1 = \left(a^{\sqrt{6}} - 1\right)\left(a^{2\sqrt{6}} + a^{\sqrt{6}} + 1\right)\). Значит, \[\begin{aligned} &\frac{\left(a^{2\sqrt{6}} - 1\right)\left(a^{\sqrt{6}} + a^{2\sqrt{6}} + a^{3\sqrt{6}}\right)}{a^{4\sqrt{6}} - a^{\sqrt{6}}} = {} \\ &= \frac{\left(a^{\sqrt{6}} - 1\right)\left(a^{\sqrt{6}} + 1\right) \cdot a^{\sqrt{6}}\left(1 + a^{\sqrt{6}} + a^{2\sqrt{6}}\right)}{a^{\sqrt{6}}\left(a^{\sqrt{6}} - 1\right)\left(a^{2\sqrt{6}} + a^{\sqrt{6}} + 1\right)} = {} \\ &= a^{\sqrt{6}} + 1. \end{aligned}\]
2) Показатель \(\pi\) иррационален, а степень с иррациональным показателем определена только для положительного основания, поэтому \(a > 0\) и \(b > 0\). По формулам квадрата суммы и квадрата разности \[\left(a^{\pi} + b^{\pi}\right)^{2} - \left(a^{\pi} - b^{\pi}\right)^{2} = 4a^{\pi}b^{\pi}.\] При возведении полученного произведения в степень \(\frac{1}{\pi}\) показатели перемножаются: \[\begin{aligned} &\left(4a^{\pi}b^{\pi}\right)^{\frac{1}{\pi}} = 4^{\frac{1}{\pi}}\left(a^{\pi}\right)^{\frac{1}{\pi}}\left(b^{\pi}\right)^{\frac{1}{\pi}} = {} \\ &= 4^{\frac{1}{\pi}}a^{\pi \cdot \frac{1}{\pi}}b^{\pi \cdot \frac{1}{\pi}} = 4^{\frac{1}{\pi}}ab. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(a^{\sqrt{6}} + 1\); 2) \(4^{\frac{1}{\pi}}ab\).
