Страница 13 номер 1.24, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Постройте график функции: 1) \(y = 2^{x} - 1\); 2) \(y = 2^{x - 1}\); 3) \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x} + 2\); 4) \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x + 2}\); 5) \(y = -2^{x}\); 6) \(y = 5 - 2^{x}\).
1) \(y = 2^{x} - 1\): график \(y = 2^{x}\) перенесён на 1 единицу вниз. Асимптота \(y = 0\) переходит в прямую \(y = -1\), точка \((0;\ 1)\) — в \((0;\ 0)\), точка \((1;\ 2)\) — в \((1;\ 1)\). Основание \(2 > 1\), функция возрастающая.
2) \(y = 2^{x - 1}\): график \(y = 2^{x}\) перенесён на 1 единицу вправо. Асимптота — ось \(x\), точка \((0;\ 1)\) переходит в \((1;\ 1)\), ось ординат график пересекает в точке \(\left(0;\ \frac{1}{2}\right)\). Функция возрастающая.
3) \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x} + 2\): график \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) перенесён на 2 единицы вверх. Асимптота \(y = 0\) переходит в прямую \(y = 2\), точка \((0;\ 1)\) — в \((0;\ 3)\). Основание \(\frac{1}{2} < 1\), функция убывающая.
4) \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x + 2}\): график \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) перенесён на 2 единицы влево. Асимптота — ось \(x\), точка \((0;\ 1)\) переходит в \((-2;\ 1)\), ось ординат график пересекает в точке \(\left(0;\ \frac{1}{4}\right)\). Функция убывающая.
5) \(y = -2^{x}\): график симметричен графику \(y = 2^{x}\) относительно оси \(x\), точка \((x_{0};\ y_{0})\) переходит в \((x_{0};\ -y_{0})\). Асимптота — ось \(x\), точка \((0;\ 1)\) переходит в \((0;\ -1)\). Все значения отрицательны, функция убывающая.
6) \(y = 5 - 2^{x} = -2^{x} + 5\): график получается из графика \(y = 2^{x}\) симметрией относительно оси \(x\) и переносом на 5 единиц вверх. Асимптота \(y = 0\) переходит в прямую \(y = 5\), точка \((0;\ -1)\) — в \((0;\ 4)\). Функция убывающая, весь график лежит ниже прямой \(y = 5\).
Постройте график функции: 1) \(y = 2^{x} - 1\); 2) \(y = 2^{x - 1}\); 3) \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x} + 2\); 4) \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x + 2}\); 5) \(y = -2^{x}\); 6) \(y = 5 - 2^{x}\).
1) График функции \(y = 2^{x} - 1\) получается из графика функции \(y = 2^{x}\) параллельным переносом на 1 единицу вниз. Горизонтальная асимптота \(y = 0\) переходит при этом в прямую \(y = -1\), точка \((0;\ 1)\) — в точку \((0;\ 0)\), точка \((1;\ 2)\) — в точку \((1;\ 1)\). Основание 2 больше единицы, поэтому функция возрастающая.
2) График функции \(y = 2^{x - 1}\) получается из графика функции \(y = 2^{x}\) параллельным переносом на 1 единицу вправо. Асимптотой остаётся ось \(x\), точка \((0;\ 1)\) переходит в точку \((1;\ 1)\), а график пересекает ось \(y\) в точке \(\left(0;\ \frac{1}{2}\right)\). Функция возрастающая.
3) График функции \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x} + 2\) получается из графика функции \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) параллельным переносом на 2 единицы вверх. Горизонтальная асимптота \(y = 0\) переходит при этом в прямую \(y = 2\), точка \((0;\ 1)\) — в точку \((0;\ 3)\). Основание \(\frac{1}{2}\) меньше единицы, поэтому функция убывающая.
4) График функции \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x + 2}\) получается из графика функции \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) параллельным переносом на 2 единицы влево. Асимптотой остаётся ось \(x\), точка \((0;\ 1)\) переходит в точку \((-2;\ 1)\), а график пересекает ось \(y\) в точке \(\left(0;\ \frac{1}{4}\right)\). Функция убывающая.
5) График функции \(y = -2^{x}\) симметричен графику функции \(y = 2^{x}\) относительно оси \(x\): каждая точка \((x_{0};\ y_{0})\) переходит в точку \((x_{0};\ -y_{0})\). Асимптотой остаётся ось \(x\), точка \((0;\ 1)\) переходит в точку \((0;\ -1)\). Все значения функции отрицательны, и функция убывающая.
6) Запишем функцию в виде \(y = -2^{x} + 5\). Её график получается из графика функции \(y = -2^{x}\) параллельным переносом на 5 единиц вверх, то есть из графика функции \(y = 2^{x}\) — симметрией относительно оси \(x\) и последующим переносом вверх. Горизонтальная асимптота \(y = 0\) переходит в прямую \(y = 5\), точка \((0;\ -1)\) — в точку \((0;\ 4)\). Функция убывающая, и весь её график лежит ниже прямой \(y = 5\).
