Страница 11 номер 1.2, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите значение выражения: 1) \(5^{(\sqrt{3} - 1)^{2}} : \left(\frac{1}{5}\right)^{2\sqrt{3}}\); 2) \(\left((\sqrt{2})^{\sqrt{6}}\right)^{\sqrt{6}}\); 3) \(\left((\sqrt[5]{10})^{\sqrt{5}}\right)^{-2\sqrt{5}}\).
1) \(\left(\frac{1}{5}\right)^{2\sqrt{3}} = 5^{-2\sqrt{3}}\), \((\sqrt{3} - 1)^{2} = 4 - 2\sqrt{3}\), поэтому \[\begin{aligned} &5^{(\sqrt{3} - 1)^{2}} : \left(\frac{1}{5}\right)^{2\sqrt{3}} = 5^{4 - 2\sqrt{3}} : 5^{-2\sqrt{3}} = {} \\ &= 5^{4 - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3}} = 5^{4} = 625. \end{aligned}\]
2) \(\sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 6\), поэтому \[\left((\sqrt{2})^{\sqrt{6}}\right)^{\sqrt{6}} = (\sqrt{2})^{6} = 2^{3} = 8.\]
3) \(\sqrt{5} \cdot \left(-2\sqrt{5}\right) = -10\), поэтому \[\left((\sqrt[5]{10})^{\sqrt{5}}\right)^{-2\sqrt{5}} = (\sqrt[5]{10})^{-10} = 10^{-2} = 0{,}01.\]
Ответ: 1) 625; 2) 8; 3) \(0{,}01\).
Найдите значение выражения: 1) \(5^{(\sqrt{3} - 1)^{2}} : \left(\frac{1}{5}\right)^{2\sqrt{3}}\); 2) \(\left((\sqrt{2})^{\sqrt{6}}\right)^{\sqrt{6}}\); 3) \(\left((\sqrt[5]{10})^{\sqrt{5}}\right)^{-2\sqrt{5}}\).
1) Делитель запишем степенью с основанием 5: \(\left(\frac{1}{5}\right)^{2\sqrt{3}} = 5^{-2\sqrt{3}}\), а \((\sqrt{3} - 1)^{2} = 4 - 2\sqrt{3}\). При делении показатели вычитаются, поэтому \[\begin{aligned} &5^{(\sqrt{3} - 1)^{2}} : \left(\frac{1}{5}\right)^{2\sqrt{3}} = 5^{4 - 2\sqrt{3}} : 5^{-2\sqrt{3}} = {} \\ &= 5^{4 - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3}} = 5^{4} = 625. \end{aligned}\]
2) При возведении степени в степень показатели перемножаются, а \(\sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 6\), поэтому \[\left((\sqrt{2})^{\sqrt{6}}\right)^{\sqrt{6}} = (\sqrt{2})^{6} = 2^{3} = 8.\]
3) Показатели перемножаются: \(\sqrt{5} \cdot \left(-2\sqrt{5}\right) = -10\). Тогда \[\left((\sqrt[5]{10})^{\sqrt{5}}\right)^{-2\sqrt{5}} = (\sqrt[5]{10})^{-10} = 10^{-2} = 0{,}01.\]
Ответ: 1) 625; 2) 8; 3) \(0{,}01\).
