Вопросы после параграфа §1 на странице 11, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1. Опишите, как можно ввести понятие степени с иррациональным показателем. 2. Перечислите свойства степени с действительным показателем. 3. Перечислите свойства показательной функции.
Пусть \(b > 0\), а \(\alpha\) — иррациональное число. Берут сходящуюся к \(\alpha\) последовательность рациональных чисел \(\alpha_1,\ \alpha_2,\ \alpha_3,\ \ldots\) (например, десятичные приближения числа \(\alpha\)) и рассматривают степени \(b^{\alpha_1},\ b^{\alpha_2},\ b^{\alpha_3},\ \ldots\) с уже определёнными рациональными показателями. Эта последовательность сходится к положительному числу, одному и тому же при любом выборе такой последовательности показателей; его и называют \(b^{\alpha}\).
Например, приближениям \(3;\ 3{,}1;\ 3{,}14;\ 3{,}141;\ 3{,}1415;\ \ldots\) числа \(\pi\) отвечают степени \(2^{3},\ 2^{3{,}1},\ 2^{3{,}14},\ 2^{3{,}141},\ 2^{3{,}1415},\ \ldots\), то есть \(8\); \(8{,}5\ldots\); \(8{,}81\ldots\); \(8{,}821\ldots\); \(8{,}8244\ldots\) — они приближаются к \(2^{\pi} = 8{,}82497\ldots\)
Частные случаи: \(1^{\alpha} = 1\) при любом действительном \(\alpha\); степень \(0^{\alpha}\) определена только при \(\alpha > 0\) и равна нулю, так что \(0^{-\sqrt{3}}\) смысла не имеет; при \(b < 0\) и иррациональном \(\alpha\) выражение \(b^{\alpha}\) смысла не имеет.
Ответ: степенью положительного числа \(b\) с иррациональным показателем \(\alpha\) называют число, к которому сходится последовательность степеней \(b^{\alpha_1},\ b^{\alpha_2},\ b^{\alpha_3},\ \ldots\) с рациональными показателями, где последовательность рациональных чисел \(\alpha_1,\ \alpha_2,\ \alpha_3,\ \ldots\) сходится к числу \(\alpha\).
Свойства те же, что у степени с рациональным показателем. Для любых \(x > 0\), \(y > 0\) и любых действительных \(\alpha\) и \(\beta\) верны равенства:
1) \(x^{\alpha} x^{\beta} = x^{\alpha + \beta}\);
2) \(x^{\alpha} : x^{\beta} = x^{\alpha - \beta}\);
3) \((x^{\alpha})^{\beta} = x^{\alpha\beta}\);
4) \((xy)^{\alpha} = x^{\alpha} y^{\alpha}\);
5) \(\left(\dfrac{x}{y}\right)^{\alpha} = \dfrac{x^{\alpha}}{y^{\alpha}}\).
Например, \(5^{\sqrt{2}} \cdot 5^{3\sqrt{2}} = 5^{4\sqrt{2}}\), а \(\left(3^{\sqrt{5}}\right)^{\sqrt{5}} = 3^{5} = 243\).
Ответ: при \(x > 0\), \(y > 0\) и любых действительных \(\alpha\) и \(\beta\): \(x^{\alpha} x^{\beta} = x^{\alpha + \beta}\); \(x^{\alpha} : x^{\beta} = x^{\alpha - \beta}\); \((x^{\alpha})^{\beta} = x^{\alpha\beta}\); \((xy)^{\alpha} = x^{\alpha} y^{\alpha}\); \(\left(\dfrac{x}{y}\right)^{\alpha} = \dfrac{x^{\alpha}}{y^{\alpha}}\).
Показательная функция — это функция \(y = a^{x}\), где \(a > 0\) и \(a \ne 1\).
Область определения — множество \(\mathbf{R}\), область значений — промежуток \((0;\ +\infty)\).
Нулей нет; промежуток знакопостоянства один: \(y > 0\) на всей области определения.
При \(a > 1\) функция возрастающая, при \(0 < a < 1\) — убывающая; точек экстремума нет.
Функция непрерывна и дифференцируема.
График имеет горизонтальную асимптоту \(y = 0\): при \(a > 1\) — когда \(x \to -\infty\), при \(0 < a < 1\) — когда \(x \to +\infty\).
Ответ: у функции \(y = a^{x}\), где \(a > 0\), \(a \ne 1\): область определения — \(\mathbf{R}\); область значений — \((0;\ +\infty)\); нулей нет; \(y > 0\) на всей области определения; при \(a > 1\) функция возрастающая, при \(0 < a < 1\) — убывающая, точек экстремума нет; функция непрерывна; функция дифференцируема; график имеет горизонтальную асимптоту \(y = 0\).
1. Опишите, как можно ввести понятие степени с иррациональным показателем. 2. Перечислите свойства степени с действительным показателем. 3. Перечислите свойства показательной функции.
Пусть \(b > 0\), а \(\alpha\) — иррациональное число. Для числа \(\alpha\) строят последовательность рациональных чисел \(\alpha_1,\ \alpha_2,\ \alpha_3,\ \ldots\), сходящуюся к \(\alpha\); такую последовательность дают, например, десятичные приближения числа \(\alpha\). Степень положительного числа с рациональным показателем уже определена, поэтому можно рассмотреть последовательность степеней \(b^{\alpha_1},\ b^{\alpha_2},\ b^{\alpha_3},\ \ldots\) Можно доказать, что эта последовательность сходится к некоторому положительному числу, причём это число одно и то же, какую бы сходящуюся к \(\alpha\) последовательность рациональных чисел ни взяли. Его и называют степенью числа \(b\) с показателем \(\alpha\) и обозначают \(b^{\alpha}\).
Например, для степени \(2^{\pi}\) берут десятичные приближения числа \(\pi = 3{,}1415\ldots\), то есть сходящуюся к \(\pi\) последовательность рациональных чисел \(3;\ 3{,}1;\ 3{,}14;\ 3{,}141;\ 3{,}1415;\ \ldots\), и рассматривают последовательность степеней \(2^{3},\ 2^{3{,}1},\ 2^{3{,}14},\ 2^{3{,}141},\ 2^{3{,}1415},\ \ldots\) Её члены равны \(8\); \(8{,}5\ldots\); \(8{,}81\ldots\); \(8{,}821\ldots\); \(8{,}8244\ldots\) и приближаются к числу \(2^{\pi} = 8{,}82497\ldots\)
Отдельно оговаривают частные случаи: \(1^{\alpha} = 1\) при любом действительном \(\alpha\); степень \(0^{\alpha}\) определена только при \(\alpha > 0\) и равна нулю, так что выражение \(0^{-\sqrt{3}}\) смысла не имеет; при \(b < 0\) и иррациональном \(\alpha\) выражение \(b^{\alpha}\) смысла не имеет.
Ответ: степенью положительного числа \(b\) с иррациональным показателем \(\alpha\) называют число, к которому сходится последовательность степеней \(b^{\alpha_1},\ b^{\alpha_2},\ b^{\alpha_3},\ \ldots\) с рациональными показателями, где последовательность рациональных чисел \(\alpha_1,\ \alpha_2,\ \alpha_3,\ \ldots\) сходится к числу \(\alpha\).
Степень с действительным показателем обладает теми же свойствами, что и степень с рациональным показателем. Для любых \(x > 0\), \(y > 0\) и любых действительных \(\alpha\) и \(\beta\) верны равенства:
1) \(x^{\alpha} x^{\beta} = x^{\alpha + \beta}\);
2) \(x^{\alpha} : x^{\beta} = x^{\alpha - \beta}\);
3) \((x^{\alpha})^{\beta} = x^{\alpha\beta}\);
4) \((xy)^{\alpha} = x^{\alpha} y^{\alpha}\);
5) \(\left(\dfrac{x}{y}\right)^{\alpha} = \dfrac{x^{\alpha}}{y^{\alpha}}\).
Например, \(5^{\sqrt{2}} \cdot 5^{3\sqrt{2}} = 5^{4\sqrt{2}}\), а \(\left(3^{\sqrt{5}}\right)^{\sqrt{5}} = 3^{5} = 243\).
Ответ: при \(x > 0\), \(y > 0\) и любых действительных \(\alpha\) и \(\beta\): \(x^{\alpha} x^{\beta} = x^{\alpha + \beta}\); \(x^{\alpha} : x^{\beta} = x^{\alpha - \beta}\); \((x^{\alpha})^{\beta} = x^{\alpha\beta}\); \((xy)^{\alpha} = x^{\alpha} y^{\alpha}\); \(\left(\dfrac{x}{y}\right)^{\alpha} = \dfrac{x^{\alpha}}{y^{\alpha}}\).
Показательная функция — это функция \(y = a^{x}\), где \(a > 0\) и \(a \ne 1\). Её свойства такие.
Область определения — множество \(\mathbf{R}\).
Область значений — промежуток \((0;\ +\infty)\): при любом \(x\) выполняется неравенство \(a^{x} > 0\), и для каждого положительного числа \(b\) существует такое значение \(x\), при котором \(a^{x} = b\).
Нулей функция не имеет.
Промежуток знакопостоянства один: \(y > 0\) на всей области определения.
Если \(a > 1\), то функция возрастающая; если \(0 < a < 1\), то функция убывающая. Точек экстремума показательная функция не имеет.
Функция непрерывна.
Функция дифференцируема.
График имеет горизонтальную асимптоту \(y = 0\): при \(a > 1\) — когда \(x \to -\infty\), при \(0 < a < 1\) — когда \(x \to +\infty\).
Например, функция \(y = 2^{x}\) возрастающая, а функция \(y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}\) убывающая, но область определения \(\mathbf{R}\), область значений \((0;\ +\infty)\) и асимптота \(y = 0\) у них одинаковые.
Ответ: у функции \(y = a^{x}\), где \(a > 0\), \(a \ne 1\): область определения — \(\mathbf{R}\); область значений — \((0;\ +\infty)\); нулей нет; \(y > 0\) на всей области определения; при \(a > 1\) функция возрастающая, при \(0 < a < 1\) — убывающая, точек экстремума нет; функция непрерывна; функция дифференцируема; график имеет горизонтальную асимптоту \(y = 0\).
