Страница 11 номер 1.3, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. §1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Страница 11. Номер 1.3

Решение:

1) \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), поэтому левая часть равна \[\frac{5^{\sqrt{8}}}{5^{\sqrt{2}}} = \frac{5^{2\sqrt{2}}}{5^{\sqrt{2}}} = 5^{2\sqrt{2} - \sqrt{2}} = 5^{\sqrt{2}}.\]

Левая часть равна правой, равенство верно.

2) \(\sqrt{27} = 3\sqrt{3}\), поэтому левая часть равна \[\begin{aligned} &4^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^{\sqrt{27}} = \left(2^{2}\right)^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \left(2^{-3}\right)^{3\sqrt{3}} = {} \\ &= 2^{\sqrt{3}} \cdot 2^{-9\sqrt{3}} = 2^{-8\sqrt{3}}. \end{aligned}\]

Правая часть равна \[\left(16^{\sqrt{3}}\right)^{-2} = \left(\left(2^{4}\right)^{\sqrt{3}}\right)^{-2} = 2^{-8\sqrt{3}}.\]

Обе части равны \(2^{-8\sqrt{3}}\), равенство верно.

3) \(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\), \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\), \(\sqrt{108} = 6\sqrt{3}\), \(\sqrt{27} = 3\sqrt{3}\), основания — через степени чисел 2 и 3: \[\begin{aligned} &12^{4\sqrt{3}} = \left(2^{2} \cdot 3\right)^{4\sqrt{3}} = 2^{8\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3}}, \\ &4^{6\sqrt{3}} = \left(2^{2}\right)^{6\sqrt{3}} = 2^{12\sqrt{3}}, \\ &6^{3\sqrt{3}} = (2 \cdot 3)^{3\sqrt{3}} = 2^{3\sqrt{3}} \cdot 3^{3\sqrt{3}}. \end{aligned}\]

Левая часть равна \[\begin{aligned} &\frac{12^{\sqrt{48}} \cdot 2^{4\sqrt{12}}}{4^{\sqrt{108}} \cdot 6^{\sqrt{27}}} = \frac{2^{8\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3}} \cdot 2^{8\sqrt{3}}}{2^{12\sqrt{3}} \cdot 2^{3\sqrt{3}} \cdot 3^{3\sqrt{3}}} = {} \\ &= \frac{2^{16\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3}}}{2^{15\sqrt{3}} \cdot 3^{3\sqrt{3}}} = 2^{\sqrt{3}} \cdot 3^{\sqrt{3}} = 6^{\sqrt{3}}. \end{aligned}\]

Левая часть равна правой, равенство верно.

Ответ: равенства доказаны: 1) обе части равны \(5^{\sqrt{2}}\); 2) обе части равны \(2^{-8\sqrt{3}}\); 3) обе части равны \(6^{\sqrt{3}}\).

Решение:

1) Так как \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), то левая часть равенства равна \[\frac{5^{\sqrt{8}}}{5^{\sqrt{2}}} = \frac{5^{2\sqrt{2}}}{5^{\sqrt{2}}} = 5^{2\sqrt{2} - \sqrt{2}} = 5^{\sqrt{2}}.\] Левая часть равенства равна его правой части, значит, равенство верно.

2) Так как \(\sqrt{27} = 3\sqrt{3}\), то левая часть равенства равна \[\begin{aligned} &4^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^{\sqrt{27}} = \left(2^{2}\right)^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \left(2^{-3}\right)^{3\sqrt{3}} = {} \\ &= 2^{\sqrt{3}} \cdot 2^{-9\sqrt{3}} = 2^{-8\sqrt{3}}. \end{aligned}\] Правая часть равенства равна \[\left(16^{\sqrt{3}}\right)^{-2} = \left(\left(2^{4}\right)^{\sqrt{3}}\right)^{-2} = 2^{-8\sqrt{3}}.\] Обе части равенства равны \(2^{-8\sqrt{3}}\), значит, равенство верно.

3) Приведём все показатели к \(\sqrt{3}\): \(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\), \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\), \(\sqrt{108} = 6\sqrt{3}\), \(\sqrt{27} = 3\sqrt{3}\). Каждое основание запишем через степени чисел 2 и 3: \[\begin{aligned} &12^{4\sqrt{3}} = \left(2^{2} \cdot 3\right)^{4\sqrt{3}} = 2^{8\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3}}, \\ &4^{6\sqrt{3}} = \left(2^{2}\right)^{6\sqrt{3}} = 2^{12\sqrt{3}}, \\ &6^{3\sqrt{3}} = (2 \cdot 3)^{3\sqrt{3}} = 2^{3\sqrt{3}} \cdot 3^{3\sqrt{3}}. \end{aligned}\] Тогда левая часть равенства равна \[\begin{aligned} &\frac{12^{\sqrt{48}} \cdot 2^{4\sqrt{12}}}{4^{\sqrt{108}} \cdot 6^{\sqrt{27}}} = \frac{2^{8\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3}} \cdot 2^{8\sqrt{3}}}{2^{12\sqrt{3}} \cdot 2^{3\sqrt{3}} \cdot 3^{3\sqrt{3}}} = {} \\ &= \frac{2^{16\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3}}}{2^{15\sqrt{3}} \cdot 3^{3\sqrt{3}}} = 2^{\sqrt{3}} \cdot 3^{\sqrt{3}} = 6^{\sqrt{3}}. \end{aligned}\] Левая часть равенства равна его правой части, значит, равенство верно.