Страница 12 номер 1.10, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Постройте график функции \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}\). В каких пределах изменяется значение функции, если \(x\) возрастает от \(-2\) до 2 включительно?
Таблица значений функции \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}\): \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 9 & 3 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \\ \hline \end{array}\]
Основание \(\frac{1}{3} < 1\), поэтому функция \(f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}\) убывающая: на отрезке \([-2;\ 2]\) наименьшее значение \(f(2) = \left(\frac{1}{3}\right)^{2} = \frac{1}{9}\), наибольшее \(f(-2) = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 9\).
При возрастании \(x\) от \(-2\) до 2 значение функции убывает от 9 до \(\frac{1}{9}\).
Ответ: \(\frac{1}{9} \leqslant y \leqslant 9\).
Постройте график функции \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}\). В каких пределах изменяется значение функции, если \(x\) возрастает от \(-2\) до 2 включительно?
Функция \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}\) — показательная с основанием \(\frac{1}{3}\). Составим таблицу её значений: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 9 & 3 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \\ \hline \end{array}\]
Основание \(\frac{1}{3}\) меньше единицы, поэтому функция \(f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}\) убывающая. На отрезке \([-2;\ 2]\) наименьшее значение она принимает при \(x = 2\), а наибольшее — при \(x = -2\). Следовательно, \[\begin{aligned} &\min\limits_{[-2;\ 2]} f(x) = f(2) = \left(\frac{1}{3}\right)^{2} = \frac{1}{9}, \\ &\max\limits_{[-2;\ 2]} f(x) = f(-2) = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 9. \end{aligned}\] Значит, при возрастании \(x\) от \(-2\) до 2 значение функции убывает от 9 до \(\frac{1}{9}\).
Ответ: \(\frac{1}{9} \leqslant y \leqslant 9\).
