Страница 12 номер 1.11, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. §1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Страница 12. Номер 1.11

Решение:

1) Основание \(5 > 1\), функция \(y = 5^{x}\) возрастающая; \(3{,}4 > 3{,}26\), поэтому \(5^{3{,}4} > 5^{3{,}26}\).

2) Основание \(0{,}3 < 1\), функция \(y = 0{,}3^{x}\) убывающая; \(0{,}4 > 0{,}3\), поэтому \(0{,}3^{0{,}4} < 0{,}3^{0{,}3}\).

3) Основание \(\frac{5}{4} > 1\), показатель \(\frac{1}{3}\) положителен, поэтому \(\left(\frac{5}{4}\right)^{\frac{1}{3}} > 1\), то есть \(1 < \left(\frac{5}{4}\right)^{\frac{1}{3}}\).

4) \(0{,}17^{-3} = \left(\frac{1}{0{,}17}\right)^{3}\); основание \(\frac{1}{0{,}17} > 1\), показатель \(3\) положителен, поэтому \(0{,}17^{-3} > 1\).

5) Основание \(\sqrt{2} > 1\), функция \(y = (\sqrt{2})^{x}\) возрастающая; из \(6 < 7\) следует \(\sqrt{6} < \sqrt{7}\), поэтому \((\sqrt{2})^{\sqrt{6}} < (\sqrt{2})^{\sqrt{7}}\).

6) Так как \(\pi < 4\), то \(\frac{\pi}{4} < 1\) и функция \(y = \left(\frac{\pi}{4}\right)^{x}\) убывающая; \(-2{,}7 > -2{,}8\), поэтому \(\left(\frac{\pi}{4}\right)^{-2{,}7} < \left(\frac{\pi}{4}\right)^{-2{,}8}\).

Ответ: 1) \(5^{3{,}4} > 5^{3{,}26}\); 2) \(0{,}3^{0{,}4} < 0{,}3^{0{,}3}\); 3) \(1 < \left(\frac{5}{4}\right)^{\frac{1}{3}}\); 4) \(0{,}17^{-3} > 1\); 5) \((\sqrt{2})^{\sqrt{6}} < (\sqrt{2})^{\sqrt{7}}\); 6) \(\left(\frac{\pi}{4}\right)^{-2{,}7} < \left(\frac{\pi}{4}\right)^{-2{,}8}\).

Решение:

1) Основание 5 больше единицы, поэтому показательная функция \(y = 5^{x}\) возрастающая. Так как \(3{,}4 > 3{,}26\), то \(5^{3{,}4} > 5^{3{,}26}\).

2) Основание \(0{,}3\) меньше единицы, поэтому показательная функция \(y = 0{,}3^{x}\) убывающая. Так как \(0{,}4 > 0{,}3\), то \(0{,}3^{0{,}4} < 0{,}3^{0{,}3}\).

3) Основание \(\frac{5}{4}\) больше единицы, а показатель \(\frac{1}{3}\) положителен, поэтому \(\left(\frac{5}{4}\right)^{\frac{1}{3}} > 1\), то есть \(1 < \left(\frac{5}{4}\right)^{\frac{1}{3}}\).

4) Показатель степени отрицателен, поэтому запишем степень с положительным показателем: \(0{,}17^{-3} = \left(\frac{1}{0{,}17}\right)^{3}\). Основание \(\frac{1}{0{,}17}\) больше единицы, а показатель 3 положителен, поэтому \(0{,}17^{-3} > 1\).

5) Основание \(\sqrt{2}\) больше единицы, поэтому показательная функция \(y = (\sqrt{2})^{x}\) возрастающая. Так как \(6 < 7\), то \(\sqrt{6} < \sqrt{7}\), а значит, \((\sqrt{2})^{\sqrt{6}} < (\sqrt{2})^{\sqrt{7}}\).

6) Так как \(\pi < 4\), то \(\frac{\pi}{4} < 1\), поэтому показательная функция \(y = \left(\frac{\pi}{4}\right)^{x}\) убывающая. Так как \(-2{,}7 > -2{,}8\), то \(\left(\frac{\pi}{4}\right)^{-2{,}7} < \left(\frac{\pi}{4}\right)^{-2{,}8}\).