Страница 150 номер 13.17, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCD\) — квадрат
\(MA = MB = MC = MD = 12\) см
угол между прямой \(MA\) и плоскостью \(ABC\) равен \(60^\circ\)

Найти: расстояние от точки \(M\) до стороны квадрата.

Решение: Точка \(M\) не принадлежит плоскости квадрата, иначе угол между прямой \(MA\) и этой плоскостью был бы равен \(0^\circ\). Точка \(M\) равноудалена от вершин квадрата, поэтому её проекция \(O\) на плоскость \(ABC\) — центр окружности, описанной около квадрата, то есть точка пересечения его диагоналей \(AC\) и \(BD\).

Отрезок \(OA\) — проекция наклонной \(MA\) на плоскость \(ABC\). Поскольку \(MO \perp ABC\), то \(\angle MOA = 90^\circ\), и острый угол \(MAO\) прямоугольного треугольника \(MOA\) равен углу между прямой \(MA\) и плоскостью \(ABC\): \(\angle MAO = 60^\circ\). Из \(\triangle MOA\) получаем: \[\begin{aligned} MO &= MA \cdot \sin 60^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ (см)}; \\ OA &= MA \cdot \cos 60^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \text{ (см)}. \end{aligned}\]

Диагональ квадрата \(AC = 2 \cdot OA = 12\) см, поэтому его сторона \(AD = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}\) см.

Пусть \(K\) — середина стороны \(CD\). Отрезок \(OK\) — средняя линия треугольника \(ACD\), поэтому \(OK \parallel AD\) и \(OK = \frac{1}{2}AD = 3\sqrt{2}\) см; поскольку \(AD \perp CD\), то \(OK \perp CD\).

Отрезок \(OK\) — проекция наклонной \(MK\) на плоскость \(ABC\). Прямая \(CD\) принадлежит плоскости \(ABC\) и перпендикулярна проекции \(OK\), следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах \(CD \perp MK\). Значит, длина отрезка \(MK\) — расстояние от точки \(M\) до стороны \(CD\). Поскольку \(MO \perp ABC\), то \(\angle MOK = 90^\circ\), и \[\begin{aligned} &MK = \sqrt{MO^2 + OK^2} = \sqrt{(6\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{2})^2} = {} \\ &= \sqrt{108 + 18} = \sqrt{126} = 3\sqrt{14} \text{ (см)}. \end{aligned}\]

Точка \(O\) удалена от каждой стороны квадрата на половину его стороны, поэтому расстояние от точки \(M\) до любой стороны квадрата находится так же и равно \(3\sqrt{14}\) см.

Ответ: \(3\sqrt{14}\) см.