Страница 152 номер 13.35, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб
\(M\) — точка на продолжении ребра \(CB\) за точку \(B\)
\(\angle BAM = 15^\circ\)

Найти: косинус угла между прямыми \(AM\) и \(D_1B\).

Решение: Пусть ребро куба равно \(a\). Все грани куба — квадраты, поэтому \(DD_1 \perp DA\) и \(DD_1 \perp DC\); прямые \(DA\) и \(DC\) плоскости \(ABC\) пересекаются в точке \(D\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(DD_1 \perp ABC\). Значит, прямая \(DB\) — проекция прямой \(D_1B\) на плоскость \(ABC\), \(DD_1 \perp DB\), и острый угол \(D_1BD\) прямоугольного треугольника \(D_1DB\) равен углу \(\alpha\) между прямой \(D_1B\) и плоскостью \(ABC\); \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\).

Из прямоугольных треугольников \(BAD\) и \(D_1DB\) получаем: \[\begin{aligned} BD &= \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}; \\ D_1B &= \sqrt{DD_1^2 + BD^2} = \sqrt{a^2 + 2a^2} = a\sqrt{3}; \\ \cos \alpha &= \frac{BD}{D_1B} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}. \end{aligned}\]

Пусть \(\beta\) — угол между прямой \(AM\), лежащей в плоскости \(ABC\), и проекцией \(BD\), \(O\) — точка пересечения диагоналей квадрата \(ABCD\). Диагонали квадрата перпендикулярны и делят его углы пополам, поэтому \(AO \perp BD\) и \(\angle BAC = 45^\circ\). Точка \(B\) лежит между точками \(M\) и \(C\), поэтому луч \(AB\) проходит между лучами \(AM\) и \(AC\), и \(\angle MAC = \angle MAB + \angle BAC = 15^\circ + 45^\circ = 60^\circ\). Если бы прямая \(AM\) была параллельна прямой \(BD\), то она была бы перпендикулярна прямой \(AC\), а \(\angle MAC = 60^\circ\); значит, прямые \(AM\) и \(BD\) пересекаются в некоторой точке \(E\). Луч, дополнительный к лучу \(AM\), образует с лучом \(AC\) тупой угол, а угол \(OAE\) прямоугольного треугольника \(AOE\) острый, поэтому точка \(E\) лежит на луче \(AM\) и \(\angle OAE = \angle MAC = 60^\circ\). Тогда \(\angle AEO = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\), и \(\beta = 30^\circ\).

Если прямая образует с плоскостью угол \(\alpha\), где \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\), а прямая, лежащая в этой плоскости, образует с проекцией первой прямой на плоскость угол \(\beta\), то угол \(\gamma\) между этими двумя прямыми удовлетворяет равенству \(\cos \gamma = \cos \alpha \cos \beta\). Прямая \(D_1B\) образует с плоскостью \(ABC\) угол \(\alpha\), а прямая \(AM\) лежит в этой плоскости и образует с проекцией \(BD\) угол \(\beta = 30^\circ\), поэтому для угла \(\gamma\) между прямыми \(AM\) и \(D_1B\) \[\cos \gamma = \cos \alpha \cdot \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}.\]

Ответ: косинус угла между прямыми \(AM\) и \(D_1B\) равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).